等差数列与等比数列的性质.ppt

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1、3.4等差数列与等比数列的性质了解等差数列和等比数列的性质，能够利用性质进行计算和证明一、.等差数列的性质1若公差，则为递增等差数列，若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列.d>0d<0d=02．若数列{an}成等差数列，则数列{Aan＋B}也成等差数列．3．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq特别地，若m+n=2k，则am+an=2ak与首末两项距离相等的两项之和相等,即a1+an=a2+an-1=…4．若数列{an}成等差数列，则数列{a2n－1}，{a2n}也成等差

2、数列．（下标成等差，对应的项也成等差）5．若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sm,S2m－Sm,S3m－S2m…构成等差数列．ak,ak+mak+2m,ak+3m,…成等差数列S2k-1=6若{an}、{bn}是等差数列，Sn为等差数列{an}的前n项和，则{pan+qbn}、{sn/n}是等差数列，（其中p、q是常数）7若{an}是等差数列，则(a≠0)成等比数列；若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}是等差数列.（2k-1）aknda中8在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时;S偶-S奇=;项数为奇数2n

3、-1时;S奇-S偶=，S2n-1=(2n-1)·a中(这里a中即an);S奇∶S偶=(k+1)∶k.9若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,且=f(n),则===f(2n-1).10“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和.思考：类比等差数列的基本性质，归纳总结等比数列的基本性质．2.等比数列的性质(1)当m+n=p+q时，则有,特别地，当m+n=2p时，则有am·an=ap2.(2)若{an}是等比数列，则{kan}、{an2}、{

4、1/an}成等比数列；(3)若{an}、{bn}成等比数列，则{anbn}、{}成等比数列;(4)若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也是数列.当q=-1,且n为偶数时,数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是常数数列0,它不是等比数列.am·an=ap·aq等比注意：下标成等差，对应的项成等比与首末两项距离相等的两项之积相等,即a1an=a2an-1=a3an-2=…(5)若a1>0,q>1,则{an}为数列；若a1<0,q>1,则{an}为数列;若a1>0,0

5、n}为递减数列；若a1<0,0

6、an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.qS奇1．等差数列{an}中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（）B．12ACD62．等比数列{an}中，如果，则a1a9的值为（）A．3B．9C．±3D．±93．设2a=3，2b=6，2c=12，那么数列a、b、c（）A．是等比数列，但不是等差数列B．是等差数列，但不是等比数列C．既是等比数列，又是等差数列D．既不是等比数列，又不是等差数列BBD4．(2009·海南)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－am2＝0，S2m－1＝38，则m＝(

7、C)A．38B．20C．10D．9解析：由已知条件由①知am＝2，或am＝0(舍去)．将am＝2代入②解得m＝10.答案：C5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于(C)A．12B．18C．24D．42解析：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列．∴S2＋(S6－S4)＝2(S4－S2)，S6＝3(S4－S2)＝24.答案：C6．有2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(B)解析：解法一：设原数列为a1，a2，a3，…，a2n＋1，公差为d，则a1，a3，a5，…，a2n＋1和a2，

8、a4，a6，…，a2n分别也成等差数列，公差都为2d，∴S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝(n＋1)a1＋·2d＝(n＋1)(a1＋nd)，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝na2＋2d＝n(a1＋d)＋n(n－1)d＝n(a1＋nd)．∴.应选B项．解