高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.2蝗制互动课堂学案新人教a版必修4

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1、1.1.2弧度制互动课堂疏导引导1.度量角的单位制:角度制、弧度制(1)角度制初中学过角度制,它是一种重要的度量角的制度.规定周角的为1度角,记作1°,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.(2)弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1rad.如图1-1-6,的长等于半径r,所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角,即=1.图1-1-6(3)弧度数一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.如果半径

2、为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是

3、α

4、=.这里,α的正负由角α的终边的旋转方向决定.2.弧长公式与扇形的面积公式(1)设l是以角α作为圆心角时所对的弧的长,r是圆的半径,则有l=

5、α

6、·r.其中α是角的弧度数.(2)扇形面积公式S=lr=α·r2.3.角度与弧度之间的互化(1)将角度化为弧度360°=2πrad,180°=πrad.1°=rad≈0.01745rad.(2)将弧度化为角度2πrad=360°,πrad=180°.1rad=()°≈57.30°=57°18′.(

7、3)弧度制与角度制的换算公式设一个角的弧度数为α,角度数为n°,则α(rad)=()°,n°=nrad.(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应表.度0°15°30°45°60°75°90°120°135°弧度0度150°180°210°225°240°270°300°315°360°弧度π2π5.角度制与弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制是以“度”为单位度量角的制度.(2)1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或弧)的大小,而1°是圆的所对的圆心角(或弧)的大小.(3)不管是以

8、“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值.(4)用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两字可以省略不写.如sin2是指sin(2弧度),π=180°是指π弧度=180°;但如果以度(°)为单位表示角时,度(°)就不能省去.(5)角的概念推广以后,无论用角度制还是用弧度制都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系,每一个角都有唯一的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与它对应.活学巧用1.下列诸命题中,假命题是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度

9、量单位B.一度的角是周角的,一弧度的角是周角的C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.不论用角度制还是用弧度制度量角,它们与圆的半径长短有关解析：A、B、C都正确.1弧度等于半径长的圆弧所对的圆心角(或弧)的大小,而1°是圆的所对的圆心角(或弧)的大小.因此不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值.答案：D2.圆弧长度等于其内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为()A.B.C.D.2解析：设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,∴θ==.答案：C3.一个扇形的面

10、积为1,周长为4,则中心角的弧度数为______________.解析：设扇形的半径为r,弧长为l,则2r+l=4.∴l=4-2r.根据扇形面积公式S=lr得1=(4-2r)·r.∴r=1.∴l=2.∴

11、α

12、===2.∴α=±2.答案：±24.(1)把112°30′化成弧度(精确到0.001).(2)把112°30′化成弧度(用π表示).(3)把-化成度.解析：(1)①n=112°30′,π=3.1416;②n=112=112.5;③a=≈0.0175;④α=na=1.96875.∴α≈1.969rad

13、.(2)112°30′=()°=×=.(3)-=-(×)°=-75°.答案：(1)1.969rad;(2);(3)-75°.5.集合A={α

14、α=kπ+,k∈Z},B={α

15、α=2kπ±,k∈Z}的关系是()A.A=BB.ABC.ABD.以上都不对解析：对于集合A,当k=2n(n∈Z)时,α=2nπ+,n∈Z.当k=2n-1时,α=(2n-1)π+=2nπ-,n∈Z.∴α=2nπ±,n∈Z.∴A=B.答案：A7.下列弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限.(

16、1)-;(2);(3)-20;(4)-2.解析：对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k∈Z,

17、α

18、∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在位置进行判断.对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z,

19、α

20、∈［0,6.28)的形式,通过α与、π、比较,估算出角所在象限.答案：(1)-=-4π+,是第一象限角;(2)=10π+,是第二象限角;(3)-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角;