高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.2蝗制导学案新人教a版必修4

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1、1.1.2　弧度制1.了解弧度制，明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握弧度数的计算公式及其应用.1.弧度制(1)定义：以　　为单位度量角的单位制叫做弧度制.(2)度量方法：长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.如图所示，圆O的半径为r，的长等于r，∠AOB就是1弧度的角.一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关.(3)记法：弧度单位用符号　　　表示，或用“弧度”两个字表示.在用弧度制表示角时，单位通常省略不写.【做一做1】下列表述中正确的是(　

2、　)A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位2.弧度数一般地，正角的弧度数是一个　　　数，负角的弧度数是一个　　数，零角的弧度数是　　.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是

3、α

4、＝　　　.(1)弧长公式：l＝

5、α

6、r.(2)扇形面积公式：S＝lr＝

7、α

8、r2.【做一做2】已知半径为10cm的圆上，有一条弧的长是40cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是　　　　.3.弧度

9、制与角度制的换算(1)角度转化为弧度：360°＝　　rad,180°＝　　rad，1°＝　　rad≈0.01745rad.(2)弧度转化为角度：2πrad＝　　，πrad＝　　，1rad＝°≈57.30°＝57°18′.(3)特殊角的弧度数与角度数对应表：角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0____________________________角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度________(4)角的概念推广后，在弧度制下，角的集

10、合与实数集R之间建立起　　关系：每一个角都有唯一的一个　　(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个　　(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.【做一做3－1】把50°化为弧度为(　　)A.50B.πC.D.【做一做3－2】把πrad化为度为(　　)A.52°B.36°C.72°D.90°答案：1．(1)弧度　(2)半径长　(3)rad【做一做1】D2．正　负　0　【做一做2】43．(1)2π　π　　(2)360°　180°　　(3)　　　　　　π　2π　(4)一一对应　实数　角【做一做3－1】B

11、【做一做3－2】C1.用弧度制表示象限角与轴线角剖析：(1)象限角的表示：角α终边所在象限集合第一象限第二象限第三象限第四象限(2)轴线角的表示：角α终边所在的坐标轴集合x轴非负半轴x轴非正半轴x轴y轴非负半轴y轴非正半轴y轴坐标轴2.弧度制与角度制的区别和联系剖析：主要从定义、意义、换算、写法等方面考虑.(1)从定义上：弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制，角度制是以“度”为单位度量角的单位制.因此弧度制和角度制一样，都是度量角的方法.(2)从意义上：1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小，而1°是

12、圆的周长的所对的圆心角(或该弧)的大小；任意圆心角α的弧度数的绝对值

13、α

14、＝，其中l是以角α作为圆心角时所对的圆弧长，r为圆的半径.(3)从换算上：1rad＝°，1°＝rad.(4)从写法上：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数；如果以度“°”为单位表示角时，度“°”就不能省去.题型一角度与弧度的互化【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度.(1)310°；(2)rad.分析：利用下列公式换算：1°＝rad；1rad＝°.反思：n°＝rad，

15、xrad＝°.题型二比较大小【例2】利用计算器比较sin1和sin1°的大小.反思：比较sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ的大小时，通常使用计算器来完成，要注意α与β的单位.题型三扇形的弧长和面积公式【例3】已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积为多少？分析：设出扇形的半径r，弧长l，面积S，列出S关于r的函数解析式，转化为求二次函数的最大值.反思：(1)在弧度制下的弧长公式、扇形的面积公式简洁明了，灵活应用这些公式列方程组求解是解决这类问题的

16、关键；(2)在研究实际问题中的最值问题时，往往转化为二次函数的最值问题，这是经常用到的思想方法.题型四易错辨析易错点　混淆了用弧度制和角度制表示的角【例4】α＝π，β＝π°，则有(　　)A.α＝βB.α＞βC.α＜βD.α与β的大小不确定错解：由于π＝π，则α＝β，故选A.错因分析：错解中混淆了π与π°的区别，π的单位是弧度，而π°的单位是度.