高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义知识巧解学案新人教a版必修4

《高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义知识巧解学案新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的数量积与投影1.平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=

6、a

7、

8、b

9、cosθ.根据定义，若a=0，则0·b=0.所以规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b=0.误区警示两个向量的数量积是两向量之间的一种新的乘法，与实数的乘法是有区别的，注意区分以下几点：①两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定.②两个向量的数量积

10、称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、b的乘积ab(或a·b)是不同的.③在实数中，若a≠0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，当a≠0时，由a·b=0不能推出b一定是零向量.因为其中cosθ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b=0.④已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c；但对于向量，该推理就是不正确的，即a·b=b·ca=c.⑤对于实数a、b、c有(ab)c=a(bc)，但对于向量a、b、c，(a·b)c=a(b·c)未必成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个

11、与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立.2.向量a在b方向(或b在a方向)上的投影图2-4-2如图2-4-2，已知=a，=b，过B作BB1垂直于直线，垂足为B1，则OB1=

12、b

13、cosθ.

14、b

15、cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影，同理，

16、a

17、cosθ叫做a在b方向上的投影.a·b的几何意义是：数量积a·b等于a的长度

18、a

19、与b在a方向上的投影

20、b

21、cosθ的乘积，或b的长度

22、b

23、与a在b方向上的投影

24、a

25、cosθ的乘积.二、两个向量的数量积的性质设a、b都是非零向量，1.a⊥ba·b=0.证明：若a⊥b，则a与b的夹

26、角θ=90°，所以a·b=

27、a

28、

29、b

30、cos90°=0；反过来，a·b=

31、a

32、

33、b

34、cosθ=0，因

35、a

36、≠0，

37、b

38、≠0，所以cosθ=0，所以θ=90°，则a⊥b.学法一得数量积的这条性质是解决代数、几何问题中的垂直关系的基本方法.2.当a与b同向时，a·b=

39、a

40、

41、b

42、；当a与b反向时，a·b=-

43、a

44、

45、b

46、.特别地，a·a=a2=

47、a

48、2，或

49、a

50、=.学法一得该条性质实现了实数与向量的联系，我们在求向量模时，往往先求模的平方，借助向量的数量积运算进行.3.

51、a·b

52、≤

53、a

54、

55、b

56、.由数量积的定义a·b=

57、a

58、

59、b

60、cosθ可知

61、a·b

62、=

63、a

64、

65、b

66、

67、

68、cosθ

69、.∵0≤θ≤180°，∴

70、cosθ

71、≤1.∴

72、a·b

73、=

74、a

75、

76、b

77、

78、cosθ

79、≤

80、a

81、

82、b

83、.学法一得由1、2、3这三条性质可知，向量的数量积可以用来处理有关长度、角度、垂直的问题.三、平面向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数λ.1.a·b=b·a.证明：设a与b的夹角为θ，则a·b=

84、a

85、

86、b

87、cosθ，b·a=

88、b

89、

90、a

91、cosθ，∴a·b=b·a.2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).证明：若λ>0，(λa)·b=λ

92、a

93、

94、b

95、cosθ，λ(a·b)=λ

96、a

97、

98、b

99、cosθ，a·(λb)=

100、a

101、

102、λb

103、cosθ=

104、a

105、

106、λ

107、

108、

109、b

110、cosθ=λ

111、a

112、

113、b

114、cosθ，∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).若λ<0，(λa)·b=

115、λa

116、

117、b

118、cos(π-θ)=-λ

119、a

120、

121、b

122、(-cosθ)=λ

123、a

124、

125、b

126、cosθ，λ(a·b)=λ

127、a

128、

129、b

130、cosθ，a·(λb)=

131、a

132、

133、λb

134、cos(π-θ)=-λ

135、a

136、

137、b

138、(-cosθ)=λ

139、a

140、

141、b

142、cosθ.∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).3.(a+b)·c=a·c+b·c.学法一得要推证向量数量积的运算律，要利用数量积的定义表示出左边与右边，因为实数的运算律是已知的，从而借助已有的实数的运算律来论证向量数量积的运算律.

143、把未知的问题转化为已知的问题来解决，体现了化归思想的运用.典题•热题知识点一平面向量数量积的定义例1判断下列各题正确与否：①若a=0，则对任一向量b，有a·b=0;②若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0;③若a≠0，a·b=0，则b=0;④若a·b=0，则a、b至少有一个为零向量;⑤若a≠0，a·b=a·c，则b=c;⑥若a·b=a·c，则b=c当且仅当a≠0时成立.答案：①√；②×；③×；④×；⑤×；⑥×.例2已知

144、a

145、=4，e为单位向量，它们的夹角为，则a在e方向上的投影是__________;e在a方向上的投影是__________.思路分析：a

146、在e方向上的投影是

147、a

148、cos=4×()=-2;e在