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《高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义互动课堂学案新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义互动课堂疏导引导1.力做功的计算如图2-4-1,一个力f作用于一个物体使物体发生位移s.由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ,真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力,这个分力与物体位移距离的乘积才是力f做的功,即w=
2、s
3、·
4、f
5、cosθ.图2-4-1疑难疏引f在物体前进方向上的分量,就是f在物体前进方向上的正射影的数量.2.向量积数量积(内积)定义(1)数量积(内积)定义
6、a
7、·
8、b
9、·cos〈a,b〉叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=
10、
11、a
12、·
13、b
14、·cos〈a,b〉.数量积定义中指明了平面向量数量积的运算程序和运算结果,即平面向量的数量积等于两向量模与其夹角的余弦的积,运算结果是一个实数,此数的符号由两向量夹角的余弦决定.疑难疏引①当a≠0时,由a·b=0,不能推出b一定是零向量.②以一个向量与单位向量的数量积为例,其几何意义就是向量在单位向量上的正射影的数量.(2)平面向量数量积的性质根据向量内积定义,可得数量积有如下重要性质:①如果e是单位向量,则a·e=e·a=
15、a
16、·cos〈a,e〉;②a⊥ba·b=0且a·b=0a⊥b;③a·a=
17、
18、a
19、2或
20、a
21、=;④cos〈a,b〉=;⑤
22、a·b
23、≤
24、a
25、·
26、b
27、.以上是两个向量内积的五条性质,性质②给出了两向量垂直的充要条件;性质③求向量长度,在向量的内积运算中经常用到;性质④求两向量夹角公式,体现了向量的内积与三角的联系.3.b在a方向上的投影如图2-4-2,=b,=a,过B作BB1⊥,垂足为B1,则就叫b在a方向上的投影,且=
28、b
29、·cosθ.图2-4-2当θ∈(0,)时,＞0;θ=时,=0;θ∈(,π)时,＜0.活学巧用1.一个大小为10牛顿的力作用于物体A(如图2-4-3),使之前行了5米,则该
30、力所做的功为______________.图2-4-3解析：由题意有f在位移s方向上的正射影的数量为
31、f
32、cos60°,即5牛顿,从而力所做的功为.w=
33、f
34、·
35、s
36、·cos60°=5×5=25(焦耳).答案：25焦耳2.已知
37、a
38、=4,
39、b
40、=5,当(1)a∥b,(2)a⊥b,(3)〈a,b〉=时,分别求a与b的数量积.解析：已知
41、a
42、与
43、b
44、,求a·b只需确定其夹角θ,需注意到a∥b时,有〈a,b〉=0和〈a,b〉=π两种可能.解：(1)∵a∥b,∴a、b的夹角有两种情况,即〈a,b〉=0或〈a,b〉=π.于
45、是〈a,b〉=0时,a·b=
46、a
47、·
48、b
49、cos〈a,b〉=4×5×cosθ=20,〈a,b〉=π时,a·b=
50、a
51、·
52、b
53、cos〈a,b〉=4×5×cosπ=-20.(2)a⊥b时,〈a,b〉=,∴a·b=
54、a
55、·
56、b
57、cos=0.(3)〈a,b〉=时,a·b=
58、a
59、·
60、b
61、·cos〈a,b〉=5×4×cos=.3.已知
62、a
63、=,
64、b
65、=1,a·b=-9,则〈a,b〉等于()A.120°B.150°C.60°D.30°解析：本题是已知向量的模及它们的数量积,求夹角,利用夹角公式及夹角范围求之.解:由题意有cos
66、〈a,b〉=.又0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=150°.答案:B4.如图2-4-4所示,已知轴l,(1)
67、
68、=5,〈,l〉=60°,求在l上的投影;(2)向量
69、
70、=5,〈,l〉=120°,求在l上的投影.图2-4-4解析：向量a在轴l上的正射影为al=
71、a
72、·cosθ.解:(1)=5cos60°=5×=.(2)=5cos120°=5(-cos60°)=5×(-)=-.
