高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义问题导学案新人教a版必修4

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1、2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义问题导学一、向量数量积的概念活动与探究1已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是(　　)①

2、a·b

3、＝

4、a

5、

6、b

7、⇔a∥b；②a，b反向⇔a·b＝－

8、a

9、

10、b

11、；③a⊥b⇔

12、a＋b

13、＝

14、a－b

15、；④

16、a

17、＝

18、b

19、⇔

20、a·c

21、＝

22、b·c

23、．A．1B．2C．3D．4迁移与应用1．已知下列命题：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则

24、a·c

25、＝

26、b·c

27、；③

28、a

29、·

30、b

31、＜a·b；④a·a·a＝

32、a

33、3；⑤若向量a，b满足a·b＞0，则a与b的夹角为锐角，其中判断为正确的是________．

34、2．已知a，b，c是三个向量，试判断下列说法的正误：(1)若a·b＝a·c且a≠0，则b＝c；(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0；(3)若a⊥b，则a·b＝0；(4)向量a在b的方向上的投影是模等于

35、a

36、

37、cosθ

38、(θ是a与b的夹角)、方向与b相同或相反的一个向量．对于这类概念、性质、运算律问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．二、平面向量数量积的运算活动与探究2(1)已知

39、a

40、＝4，

41、b

42、＝5，且向量a与b的夹角为60°，求(2a＋3b)·(3a－2b)；(2)在△

43、ABC中，M是线段BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________．迁移与应用1．设向量a，b满足

44、a

45、＝

46、b

47、＝1，a与b的夹角为，则

48、a＋2b

49、＝________．2．设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a．(1)求a，b的数量积需已知三个量，即

50、a

51、，

52、b

53、，θ，其中确定角θ是关键，注意θ∈[0，π]．还要注意结合向量的线性运算．(2)求向量模时可用如下方法：①a2＝a·a＝

54、a

55、2或

56、a

57、＝；②

58、a±b

59、＝＝．由关系式a2＝

60、a

61、2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化．因此欲求

62、a＋b

63、，可求．三、用平面向量数量积解决垂直问题活动与探究3已

64、知

65、a

66、＝5，

67、b

68、＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？迁移与应用已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0．这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．当堂检测1．已知a与b是相反向量，且

69、a

70、＝2，则a·b＝(　　)A．2B．－2C．4D．－42．已知向量a，b满足

71、a

72、＝

73、b

74、＝2，a与b的夹角为120°，则

75、a－b

76、的值为(　　)A．1B．C．2D．33．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝

77、－，a与b的夹角为(　　)A．30°B．45°C．135°D．150°4．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．5．已知

78、b

79、＝5，a·b＝12，则向量a在b方向上的投影为__________．　　提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)非零　

80、a

81、

82、b

83、cosθ　数量积　内积　a·b(2)a　b　投影　(3)0　(4)

84、a

85、　

86、b

87、cosθ2．(1)b·a　(2)a·b　λb　(3)a·c＋b·c预习交流1　提示：不

88、一定成立．∵若(a·b)c≠0，其方向与c相同或相反，而(b·c)a≠0时其方向与a相同或相反，而a与c的方向不一定相同，故该等式不一定成立．3．(1)a·b＝0　(2)

89、a

90、

91、b

92、　－

93、a

94、

95、b

96、　(3)

97、a

98、　(4)≤预习交流2　提示：不一定．当a⊥b时，也有a·b＝0．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1　思路分析：要对以上四个命题一一进行判断，依据有两个：一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．C　解析：①∵a·b＝

99、a

100、

101、b

102、cosθ，∴由

103、a·b

104、＝

105、a

106、

107、b

108、及a，b均为非零向量可得

109、cosθ

110、＝1，∴θ＝0或θ＝π，∴a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是

111、真命题；②若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝

112、a

113、

114、b

115、cosπ＝－

116、a

117、

118、b

119、，且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有

120、a＋b

121、＝

122、a－b

123、．反过来，若

124、a＋b

125、＝

126、a－b

127、，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，∴a⊥b，因此命题③也是真命题；④当

128、a

129、＝

130、b

131、但是a与c的夹角和b与c的