八年级数学下册 19.1.1 矩形的性质学案 （新版）华东师大版

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19.1.1矩形的性质一、学习目标1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题。二、学习重点：矩形的性质.三、自主预习（1）请用四根木棒拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形形状唯一吗？（2）试着改变平行四边形的形状，你能拼出面积最大的平行四边形吗？这时这个平行四边形的内角是多少度？（3）观察图形特征，得出概念：叫做矩形.矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是___________．四、合作探究1.如图，矩形ABCD的对角线相交于O，观察对角线所分成的三角形，你有什么发现？2.将目光锁定在Rt△ABC中，你能发现它有什么特殊的性质吗？证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．”已知：图形：画在下面求证：证明：3.已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB。求证：△AOB是等边三角形。(注意表达格式完整性与逻辑性)拓展与延伸：本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？4.在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于O，∠ACD=30°，AB=4.（1）判断△ AOD的形状；（2）求对角线AC、BD的长.五．巩固反馈★【基础知识练习】1.填空题：（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm．2．选择题：（1）下列说法错误的是（）．A矩形的对角线互相平分B矩形的对角线相等C有一个角是直角的四边形是矩形D有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．A2对B4对C6对D8对3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．★【提高拓展练习】4.已知矩形ABCD中，对角线交于点O，AB=6cm，BC=8cm，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值是多少？这个值会随点P的移动（不与A、D重合）而改变吗？请说明理由.★【中考考点链接】如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，点F在边BC上，如果FE⊥AE，求证FE=AE。②如果FE=AE你能证明FE⊥AE吗？ 六、学后反思编号06：巩固反馈：1.略；2.（1）C;(2)A;3.30°计算如下：解：∵∠AOD=120º，∴∠AOB=180º-120º=60º∴△AOB是等边三角形，∴∠ABO=60º，∴∠OBE=90º-60º=30º ∵AE平分∠BAD，∠BAD=90° ，∴∠BAE=∠BEA=45° ∴AB=BE ，∵AB=OB ，∴OB=BE ∴∠BEO=∠BOE=(180º-30º)/2=75° ∴∠AEO=∠BEO-∠BEA=30°4.解：如图,连接OP∵矩形的对角线把矩形平均分成四部分,各部分面积相等.∴△AOD面积=6×8÷4=12cm²在△ABC中,根据勾股定理，得，AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10矩形对角线互相平分且相等，∴AO=DO=10÷2=5cm△APO面积=AO×PE÷2=5×PE÷2=2.5PE△DPO面积=DO×PF÷2=5×PF÷2=2.5PF△APO面积+△DPO面积=△AOD面积∴2.5PE+2.5PF=12，∴PE+PF=4.8cm由此可知,PE+PF=4.8cm是个定值,所以不会改变.答案：PE+PF=4.8cm.这个值不会随着点P的移动（不与A、D重合）而改变.5.证明：⑴∵FE⊥AE，即∠AEF=Rt∠，∴∠AED与∠CEF互余，∴∠AED=∠EFC，又BE平分∠ABC，而四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=EC在△ADE与△ECF中，AD=EC，∠ADE=∠ECF,∠AED=∠EFC∴△ADE≌△ECF（AAS），∴FE=AE.⑵如果FE=AE,那么FE⊥AE.证明：∵FE=AE，又BE平分∠ABC，而四边形ABCD是矩形，∴AD=EC,又∵∠ADE=∠ECF=Rt∠,∴△ADE≌△ECF∴∠AED与∠CEF互余∴FE⊥AE.