2014届高三数学一轮复习 （教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）专讲专练 3.2　导数的应用(一)

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1、2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：3.2　导数的应用(一)一、选择题1．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像是(　　)A.　B.　C.　D.解析：设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]．因为x＝－1是F(x)的一个极值点，所以F′(－1)＝0，得出f′(－1)＋f(－1)＝0，在选项D中，由图像观察得到f(－1)＞0，f′(－1)＞0，所以f(

2、－1)＋f′(－1)＞0与f′(－1)＋f(－1)＝0矛盾，故选D.答案：D2．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)A．2　　　　B．3　　　　C．6　　　　D．9解析：∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵Δ＝4a2＋96b＞0，又x＝1是极值点，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6.∴ab≤＝9，当且仅当a＝b时“＝”成立，所以ab的最大值为9，故选D.答案：D3．(2013·济宁模拟)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0

3、,1)内有极小值，则实数b的取值范围是(　　)A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D.解析：由f′(x)＝3x2－6b＝0，得x＝±(b＞0)，∴0＜＜1，∴0＜b＜.答案：D4．已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时(　　)A．f′(x)＞0，g′(x)＞0B．f′(x)＞0，g′(x)＜0C．f′(x)＜0，g′(x)＞0D．f′(x)＜0，g′(x)＜0解析：由题意知，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，x＞0时

4、，f′(x)＞0，g′(x)＞0，即x＞0时，f(x)是增函数，g(x)是增函数，所以x＜0时，f(x)是增函数，g(x)是减函数，即x＜0时，f′(x)＞0，g′(x)＜0.答案：B5．(2013·德州联考)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)＞1，则f(x)＞x的解集是(　　)A．(0,1)B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－1＞0，所以F(x)是增函数，故易得F(x)＞F(1)的解集

5、，即f(x)＞x的解集是(1，＋∞).答案：C6．(2013·烟台质检)已知函数f(x)＝4x＋3sinx，x∈(－1,1)，如果f(1－a)＋f(1－a2)＜0成立，则实数a的取值范围为(　　)A．(0,1)B．(1，)C．(－2，－)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：∵f(x)＝4x＋3sinx，x∈(－1,1)，∴f′(x)＝4＋3cosx＞0在x∈(－1,1)上恒成立．∴f(x)在(－1,1)上是增函数．又f(x)＝4x＋3sinx，x∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f(1－a)＋f(1－a2)＜0

6、可化为f(1－a)＜f(a2－1)．从而可知，a需满足解得1＜a＜.答案：B二、填空题7．若函数y＝a(x3－x)在区间上为减函数，则a的取值范围是__________．解析：y′＝a(3x2－1)，∵函数在上为减函数，∴y′≤0在上恒成立．∵3x2－1＜0，∴a≥0.当a＝0时，函数为常数函数，不合题意，∴a＞0.答案：a＞08．已知函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a＞0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是__________．解析：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x

7、)＜0，得－a＜x＜a.∴f(x)在区间(－∞，－a)内递增，在区间[－a，a]内递减，在区间[a，＋∞)内递增，极大值为f(－a)＝2a3＋a＝a(2a2＋1)＞0，①极小值为f(a)＝a(1－2a2)＜0，②由①②得a∈.答案：9．(2013·绵阳模拟)下图是函数y＝f(x)的导函数的图像，给出下面四个判断．①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝3是f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是__

8、________．解析：由函数y＝f(x)的导函数的图像可知：(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．答案：②③三、解答题10．设a＞0，讨论函数f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性．解析：由题意知x＞0.当a＝1时，f(x)＝lnx，其