2014届高三数学一轮复习 （教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）专讲专练 2.9　函数与方程

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1、2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：2.9　函数与方程一、选择题1．(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)A．0　　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．3解析：原题可以转化为函数y1＝2x－2与y2＝－x3的图像在区间(0,1)内的交点个数问题，可知在区间(0,1)内只有一个交点，正确答案为B.答案：B2．(2012·湖北)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为(　　)A．4B．5C．6D．7解

2、析：令f(x)＝0，得x＝0或cosx2＝0，因为x∈[0,4]，所以x2∈[0,16]．由于cos＝0(k∈Z)，故当x2＝，，，，时，cosx2＝0.所以零点个数为6.答案：C3．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，根据函数的零点存在性定理，知函数f(x)的零点在区间(0,1)内.答案：C4．(2013·顺义月考)已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x

3、)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值(　　)A．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于0解析：根据指数函数与对数函数的单调性可以推知函数f(x)＝x－log2x在(0，＋∞)上单调递减，函数f(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点．若有零点的话，零点左侧的函数值恒正，右侧的函数值恒负，对于0＜x1＜x0，f(x1)的值恒为正值.答案：A5．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　)A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(

4、x)＝ex－1D．f(x)＝ln解析：g(x)＝4x＋2x－2的零点，即函数y＝4x与函数y＝－2x＋2图像交点的横坐标(如图)，由图知g(x)的零点x0满足0＜x0＜.又f(x)＝4x－1的零点为，∴选A.答案：A6．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)(　　)A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：由于f＝＋1＞0，f(1)＝＞0，f(e)＝e－1＜0，故函数y＝f(x

5、)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．答案：D二、填空题7．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是1，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是__________．解析：由题意知ax＋b＝0(a≠0)的解为x＝1，∴b＝－a.∴g(x)＝－ax2－ax＝－ax(x＋1)．由g(x)＝0得x＝0或x＝－1.答案：0或－18．(2013·珠海质检)已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，若在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是__________．解

6、析：只需f(1)＝－2p2－3p＋9＞0或f(－1)＝－2p2＋p＋1＞0，即－3＜p＜或－＜p＜1，∴p∈.答案：9．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是__________．解析：由于f(－1)＝－1＝－＜0，f(0)＝1＞0，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．因为g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h＝－1＋＝－＜0，h(1)＝1＞0，故h(x)的零点c∈，因此a＜c＜b.答案：a＜c＜b三、解答题10

7、．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．解析：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0有且仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不符合题意，舍去)．∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0，即m＞2，或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有一正一负根，即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾．∴这种情况不可能．综上，可知m＝－2时，f(x)有唯一

8、零点，该零点为x＝0.11．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解析：(1)方法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e，∴g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．方法二：作出g(x)＝x＋(x＞0)的图像如图所示，可知若使g(x)＝m有零