2015中考数学压轴题全揭秘系列：专题36动态几何之线面动形成的全等、相似三角形存在性

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1、《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题36；动态几何之线面动形成的全等、相似三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年來中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是硏究在几何图形的运动屮，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变"少“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、而动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图彖问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题冃要“以静

2、制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。动态儿何形成的存在性问题是动态儿何中的基木类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、止方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写动点形成的全等、相似三介形存在性问题模拟题。在小考压轴题屮，线面动形成的全等、相似三角形存在性问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。一.线动形成的全等三角形存在性问题原创模拟预测题1・如图，

3、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-丄/+2x+4交），轴2于点C,对称轴与兀轴交于点D,顶点为M,设点P（x,y）是笫一•象限内该抛物线上的一个动点，直线PE绕点P旋转,与y轴交于点E,是否存在以0、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。:.C(0,4)o1i9Vy=一x?+2x+4=—(x-2)~+6,22・•・顶点M坐标为(2,6)。若以0、P、E为顶点的三角形与ZOPD全等，可能有以下情形:®OD=OE.若点E在y轴正半轴上，如團1所示，此时△0PD望△OPE。・・・ZOPD=ZOPE,即点、P在第一象限的角

4、平分线上。・・・OE=OD=2,即点E的坐标为(0,2)o若点E在y轴员半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在。③OD=?EoVOD=2,/.第一象限內对称轴右侧的点到丫轴的距离均大于2o・••点?只能位于对称轴左侧或与顶点重合。若点P位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知AOPE为钝角三角形，而△OPD为锐角三角形，则不对能全等。若点戶与点M重合，如图2所示，此时PD竺OPE,四边形PDOE为矩形。：.0E=DM=6,即点E的坐标为（0,6）o综上所述，存在以0、P、E为顶点的三用形与全等，点E的坐标为（0,2）或（0,6）。【考点】曲线上点的处标

5、与方程的关系，二次函数的性质，全等三角形的判定，分类思想和数形结合思想的应用。【分析】求出点C、1的坐标，由于三角形的各边，只有01>2是确定忙度的，因此可以以CD为基准进行分类讨论：①OAOP,因为第一象限内点P到原点的距离均犬于4因此CNOD,止匕种情形排除。②OAOE.分析可知，只有如图1所示的情形成立。③OD=?E.分析可知，只有如图2所示的情形成立。原创模拟预测题1・如图，ZMON=90。,A.B分别是OM、ON上的点，OB=4.点C是线段A3的中点，将线段AC以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90。，得到线段AD,过点3作ON的垂线.（1）当点D恰好落

6、在垂线上时，求OA的长；（2）过点D作QE丄OM于点将（1）问屮的AAOB以每秒2个单位的速度沿射线OM方向平移，记平移中的厶人。〃为当点。与点E重合时停止平移.设平移的时间为/秒，与重叠部分的面积为S,请直接写出S与/之间的函数关系式以及自变量f的取值范围；（3）在（2）问的平移过程中，若B'O与线段BA交于点P,连接PD,PAA'Q,是否存在这样的/,使是等腰三角形？若存在，求出『的值；若不存在，请说明理由.NN團①图②【答案】（1）8;S=-21r2+34—65.5(3)0

7、=90°・由ZM0N=90°>所以ZAB0+ZBA0=90°>ZBA0=Zdba.由题意知：Zbad=90°,可得△abos/xbda,从而求出OA(2)分情况0WY"1WY4时；4WtW5时，求出函数关系式.<3)存在满足条件的t(OWtW4力分两种情况讨论①当PAy=PD时，PAy:二PD；,②当PAy=A；D时，：=A^D讨论即可得出结论.试题解析：解：(1)•・•/丄OM:.ZDBA+ZABO=90°.*ZM0N=90°>.ZAB04-ZBA0=90o,・ZBAO=ZDBA・由题意知:ZBAD=90°、/.ZBAD=ZAub=90°,/.AABO