成贤教材-高数B下§9.3三重积分的计算

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1、§9.3三重积分的计算9.3.1三重积分的概念设是空间有界闭区域的有界函数，任意分成小闭区域，其中表示第小闭区域，也表示它的体积。，作和式，，若极限存在，且极限值与分法、的取法无关，则称可积，并称此极限值为的三重积分，记作，即，①其中称为体积元素。当在上连续时，的三重积分必定存在。今后总假定在闭区域连续。如果表示某物体在点处的密度，该物体所占有的空间闭区域，连续，则是该物体质量的近似值，。注1．，2．（）。称为直角坐标系下的体积元素。9.3．2直角坐标系中三重积分的计算设平行于且穿过闭区域的直线与的边界曲面S的交点不多于两个，把投影到面上，得投影区域，以的边界为准线作母线

2、平行于的柱面，这柱面与9S的交线把S分成上、下两部分：：；：，，且。过内任一点作平行于z轴的直线，此直线与的交点的纵坐标为和。先将看作定值，将只看作z的函数，在区间上对z积分，积分的结果是x，y的函数，记为，即，然后计算在闭区域上的二重积分，，即—先对z积分（先一后二法）。假如闭区域可用不等式，来表示，把二重积分化为二次积分，则三重积分的计算公式为。②②式是先对，次对，最后对的三次积分。注1．若平行于的直线与边界曲面的交点不多于两个，则同样可把投影到面（面）上，得到先对（）的三次积分。2．若平行于坐标轴的直线与的交点多于两个，则可把分成几块处理。3．计算三重积分也可化为先

3、计算一个二重积分再计算一个定积分（先二后一法）设空间闭区域，其中是用平面z=z截闭区域所得的平面闭区域，则有。例1．把三重积分化为各种次序的三次积分，其中是由平面9及锥面所围成的立体。解：①先对，：。，或；②先对：，。由解得，，或；③先对，：，。由解得，，。例2．计算，其中为三个坐标平面及平面所围成的闭区域。解：在面上的投影区域为：，。例3．计算，其中是由椭球面所围成的空间闭区域。9分析：被积函数中缺变量，用平行于平面去截，其截面是椭圆盘。故用“先二后一法”。解：空间闭区域可表示为，，其中D(z)为平面椭圆盘：，，故。课堂练习题：（1）求，由，及所围成。解：在面上的投影区

4、域为：（2）设为由曲面与所围成的封闭区域，求的体积V。解：两曲面的交线为，，当，区域为，面积为；9当，区域为，面积为，故。利用对称性简化三重积分的计算1．设。若对称关于变量x（或z，或y）是奇函数，则；若关于变量x（或z，或y）是偶函数，则三重积分等于其一半对称区域上积分的两倍。2．设，且对称。若关于变量x，y，z为奇函数，即，则；若关于变量x，y，z为偶函数，即，则三重积分等于其一半对称区域上重积分的两倍。3．若将x换为y，y换为z，z换为x，积分区域不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分的值，与原积分的值相同。（轮换对称性）例4．设有空间区域；，则（C）（

5、A）；（B）；（C）；（D）。例5．求，其中。解：∵积分区域对称，且被积函数关于变量x，y，z为奇函数，∴。例6．计算，。解：，9由轮换对称性知：，三重积分的一般换元法则定理：设（1）变换T：，把区域一对一的变为；（2）上面变换中的函数在区域具有连续偏导数；（3），则。当行列式在区域的个别点或某条曲线、某张曲面上等于零而在其它点不等于零时，三重积分的换元公式仍成立。9．3．3柱面坐标系下三重积分的计算设为空间内一点，并设上的投影P的极坐标为，则称三元有序数组是点M的柱面坐标，其中的取值范围规定为：，，。三组坐标面分别为：，即以z轴为轴的圆柱面；，即过的半平面；，即与xoy

6、面平行的平面。显然：∵∴。9例7．计算，其中由与所围成的区域。解：两曲面的交线为，在平面上的投影区域为，在柱面坐标下，∵积分区域关于平面、平面对称，而被积函数x，y分别关于变量x，变量y为奇函数，∴。∴。例8．一形体和圆柱面所围成，已知其上任一点的密度与该点到成正比，求其。解：密度函数，则。从而在平面上的投影区域为，在柱面坐标下，。9．3．4球面坐标系下三重积分的计算设空间一点的直角坐标为，从点M向9平面引垂线，垂足为P，令，设与正向的，与正向的，则称三元有序数组是点的球面坐标，其中：，，。三组坐标面分别为：，即以原点为心的球面；，即以原点为顶点，为轴的圆锥面；，即过的半

7、平面。。∵。∴。例9．计算三重积分，由圆锥面与上半球面所围成的区域。解：在球面坐标系下，圆锥面化为，上半球面化为，。。例10．计算三重积分，其中由曲面与9所围成的闭区域。解：在球面坐标系下，曲面化为，平面化为，。例11．求椭球体的体积。解：作广义球面坐标变换：，，在广义球面坐标变换下对应于，。小结：1．若积分区域或被积函数的表达式中含有因子，一般用柱面坐标计算三重积分；若积分区域或被积函数为的表达式中含有因子，一般用球面坐标计算三重积分；若积分区域的表达式中含有(或)因子，而被积函数含有(或)因子，一般应用柱面坐标计算三重积分