热力学与统计物理(IMU) 之七(3.1-2)

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1、2006-10-10统计热力学教案（3-1，2时）上章:统计规律性系综微正则系综玻尔兹曼关系热力学定律第三章封闭系(ClosedSystems)微正则分布是统计物理的基本假设．但用它直接计算宏观物理量往往并不方便。它的主要作用是奠定统计物理的基础，导出各种适用的系综和分布，从而建立平衡态的全部理论．本章讨论由基本假设导出的一种基本系综——正则系综．§3.1正则系综（CanonicalEnsemble）封闭系的系综→正则分布→经典极限1.封闭系的系综（EnsembleofClosedsystems）讨论比孤立系略为复杂的情形：能量可变、粒子数不变——封闭

2、系．从量子论的角度来看，物理隔离并不能保证粒子数不变。我们这里所说的“封闭”只是一个借用的名词，是指粒子数不变的体系。经典的封闭与量子论的粒子数不变之概念不等同．如，对封闭的光子系（即电磁辐射场），粒子数不因封闭而不变，不可作为量子论的“封闭系”研究．(O)E−Es通常认为：约束平衡态“封闭系”的宏观条件是：E温度、体积、粒子数（“T，V，N”）确定。s现在我们来研究描述“封闭系”的统计性质的系综分布。假想封闭系s与一个大热源(Reservoir)r实现热接触（没有热交换以外形式的能量交换）．如果略去两系交换附加能，则有(O)E=E+E=const，且

3、E>>E．srrs物体系0的统计规律可用微正则系综描述.作为孤立系的子系，封闭系的微观量之统计平均自然可以在孤立系的框架内，用微正则系综的分布来计算．1(O)假定孤立系微观态总数为W。根据等概率假设，任一微(O)观态的概率为ρ=/1W．现欲求：封闭系处于能量为E的ss态之概率．即考虑孤立系的子系“封闭系”处于态，s而“热注意到源”处于任意可能态的概率．为简单，暂不计能级简并．(O)E=E+Esr(0)(O)记热源能量为E－Es的态之数目为W(E−E)．它也应rs该是封闭系处于s态时孤立系的微观态总数．相应概率为(O)(O)Wr(E−Es)ρ=ρ⋅W(E

4、−E)=．srs(O)W这就是描述封闭系的系综之分布函数．它需要进一步简化。2．正则分布（CanonicalDistribution）上面给出的分布函数，不便实际使用．须简化之．§2.2定义(O)的β考虑在E附近展开其对数lnW:r(O)(O)⎛∂lnWr⎞lnW(E−E)=lnW(E)−E⎜⎟，rsrs⎜⎟⎝∂Er⎠Er=E(O)(O)(O)即lnWr(E−Es)=lnWr(E)−βEs.ρ=Ce−βEs分布函数可写为s．归一化1=∑ρ=∑Ce−βEssss1−βEs记ρ=e——正则分布．sZ具有这种分布性质的系综则称为正则系综.式中Z=∑e−βEs

5、称为配分函数．s配分函数Z（T，V，N）作为T，V，N的函数，是宏观量,是统计物理计算热力学量的关键．如前,式中β=1kT，T为热源温度．e−βEs又称玻尔兹曼（Boltzmann）因子．−1−ψ写Z为e，即ψ=lnZ；省去下标s，正则分布可写为−ψ−βEρ=e．吉布斯最早提出这个分布，故称吉布斯正则分布．相应的系综2又称为吉布斯正则系综．注意：上面的分布是对“态”的分布。Es为态s的能量本征值。如果考虑对能级的分布，必未涉及能级简并问题．按能级的分布与能级简并度有关．若E的简并度为W，系统处于l能级的概率则为ll1−βEl．ρ=WellZ配分函数为Z

6、=∑We−βEl．ll上式的求和为对能级的求和．Wl以后讨论．3．经典极限（ClassicalLimit）若系统能量取值准连续，同时粒子可分辨（定域），则系统可近似地用经典力学描述．这时，正则分布过度到经典情形：vvvv写体系能量为E(q,p)、相空间体积元dΩ=qdpd内微观态1数为dΩ．这个数目对应于量子情形的“简并度”．NrN!hvv系统处于dΩ内（相宇中（q,p）点附近）的概率为vv−βE(qp)vv1eρ(q,p)dΩ=dΩ．NrN!hZvv−βE(qp)vv1e概率密度ρ(q,p)=——经典正则分布．NrN!hZ配分函数1vv−βE(q⋅p

7、)Z=edΩ．积分对整个相宇.Nr∫N!h2Nr重积分§3.2热力学公式（ThermodynamicformulaeofCanonicalDistribution）热力学公式→涨落（能量）→分布的特征1.热力学公式(Thermodynamicformulae)下面导出热力学基本微分式和各热力学量的公式．3先用统计平均公式计算有微观对应的宏观量，为便于讨论，假定无简并．内能（平均能量）的计算公式可导出为∂ψE=−E=∑ρE=1∑Ee−βEs=1⎛⎜−1∂∑e−βEs⎞⎟=−∂lnZ∂βsss⎜⎟sZsZ⎝β∂βs⎠∂β注意到§2.3中广义力平均关于作功的

8、微观概念：注意到§2.3关于功的微观表示đW=ΣρrdEr，设任一广义dW=ΣρrdEr坐标为