热力学与统计物理(IMU) 之廿三(7.1)

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1、December13,2006统计热力学教案（7-1，2时）第七章量子统计法（QuantumstatisticalMethods）本章讨论近独立粒子组成量子系统．首先导出不同统计性质的全同粒子按能级的分布，然后研究一些较简单的例子．§7.1量子统计分布（QuantumstatisticalDistributions）巨配分函数→量子统计法→热力学公式1.巨配分函数（GrandPartitionFunction）多数量子系粒子数不守恒，我们用巨正则系综研究．考虑N粒子组成的理想量子气体．假定单粒子能级为εl，系统处于微观量子态s时，能级εl的占据数为al．系统的总粒子数与能量写为N=∑al

2、，Es=∑alεl．ll巨正则分布给出系统处于微观态s的概率为ρ=eζ−αN−βEs，s∞巨配分函数为Ξ=eς=∑∑e−αN−βEs．Ns=0记N粒子在单粒子态的分布为{}a，巨配分函数则可由以下l公式计算∞−α∑al−∑βalεlΞ=eζ=ell∑∑．Ns=0a个粒子在能量为ε的各单粒子态的分布方式数为Wl，ll分布所包含的微观状态数则为W=∏Wl．l将对态s的求和化为对分布的求和有1∞eζ=[]We−()α+βεlal．∑∑∏lNa=0{}ll因N的求和上限为无穷，故可取消分布｛al｝的粒子数限制，将两个求和合并得eζ=∑∏[We−()α+βεlal]．l()all由于（al）为粒子

3、数无限制的分布，因而可将求和与连乘交换，最后得∞eς=∏∏∑[]We−(α+βεl)al=eζl．lllal=0∞其中eζl=∑[]We−(α+βεl)al称为l能级的巨配分函数．lal=0巨配分函数的对数与单粒子能级巨配分函数之间则有如下简单的关系ς=∑ςl．l用巨配分函数计算l能级占据数的平均值得a=∑∑aρ=e−ζ∑∑ae−αN−βEsllslNsNs∞=e−ζ∏∑[]aWe−(α+βεm)amlmmam=0⎡∞⎤∞=e−ζaWe−(α+βεl)alWe−(α+βεm)am⎢∑ll⎥∏∑m⎣al=0⎦m≠lam=0⎡∞⎤∞=aWe−(α+βεl)alWe−(α+βεl)al⎢∑ll

4、⎥∑l⎣al=0⎦al=0=e−ςl⎛−∂eςl⎞⎟=−∂ςl⎜⎝∂α⎠∂α2．量子统计法(Quantumstatisticalmethods)进一步具体给出a的表达式需要考虑粒子的全同性，即不l同类型粒子的统计方式．对于给顶的分布｛al｝，不同类型的粒子系之按状态数Wl不同．假定各单粒子态的简并度分别为ω,ω,L,ω,L，我们来讨论给定的分布{}a时，系统的微观12ll2状态数．（1）玻色系玻色系不受泡利不相容原理的限制，每单粒子态均可有任意个粒子占据．现考虑al个粒子“放入”ωl个量子态的方式数．此问题有如在一长槽中放入al个球，中间用ωl–1个隔板隔开为ωl个区域，每区中可以有0–

5、al个球．共有几种分法？这个问题又可以转化为：al个球与ωl–1个隔板排列的问题．初看来，这种排列的方式数为（al＋ωl–1）！．但是，还应注意到，隔板不能区分，它只起分割的作用，ωl–1个隔板交换位置并不产生新的占据方式，这样交换的方式共有（ωl–1）！种；al个球（粒子）全同，它们交换位置亦不产生新的占据方式，这样交换的方式共有al！种．所以，l能级上占据al个粒子的不同微观态数应为(ω+a−1)!llW=．l(ω−1)!a!ll考虑所有能级，分布｛al｝包含的系统微观状态数则为(ωl+al−1)!⎛ωl+al−1⎞W=∏Wl=∏=∏⎜⎜⎟⎟．ll(ωl−1)!al!l⎝al⎠（２）

6、费密系费密系受泡利不相容原理的限制，每单粒子态最多只可有一个粒子占据．al个粒子投入ωl个态，其方式数为⎛ωl⎞ωl!Wl=⎜⎜⎟⎟=()．aa!ω−a!⎝l⎠lll分布｛al｝包含的系统微观状态数则为ω!lW=∏．lal!()ωl−al!（3）Boltzmann系统粒子可分辨时，系统的统计方法称为Boltzmann统计法．al个粒子放入ωall个态，共有ω种方式，考虑所有能级占据方式l数为al∏ωl．但粒子可分辨，交换N个粒子带来不同的微观态，l3数目为N！，总数应乘以N！．可是，在同一能级上的al个粒子放入ωl个态时已考虑其可分辨性，所以再互换不应计入新的态，总数又应除以al！．最后

7、得给定分布{}a包含的微观状态数lN!aW=∏ωl．l∏al!ll当a<<ω，全同性表现不突出，这时两种统计分布方式ll趋同，取其极限形式——Boltzmann统计：WN！来自全同性MW~W~BFN!．此时，系统称为非简并性系统．al<<ωl称为非简并性条件．３．量子统计分布(Quantumstatisticaldistributions)将上面给出的玻色和费密统计法代入巨配分函数公式（用二项注意数学公式式公式）可得−m(1−x)⎧