2020届江苏省镇江市统一高考数学第一轮复习学案（解析答案版）：51 （理科）空间向量1

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1、第51节空间向量1（理科）一、知识梳理1．向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.注：⑴空间的一个平移就是一个向量；⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.思考：空间向量与平面向量的区别与联系.2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法遵循平行四边形或者是三角形法则.运算律：⑴加法交换律：a+b=b+a⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)⑶数乘分配律：λ(a+b)=λa+λb3．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向

2、量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作a//b.规定：当我们说向量a,b共线时，表示a,b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.4．共线向量定理：5．共面向量定理：思考：如何证明四点共面?6．空间向量基本定理：7.空间向量的直角坐标运算律：①若，，则，，，，，。②若，，则。8.空间向量的数量积（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点，作，则叫做向量a与b的夹角，记作；且规定，显然有=；若=，则称a与b互相垂直，记作：.（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量a的长度或模，记作：。（3）向量的数量

3、积：已知向量a,b，则叫做a,b的数量积，记作，即=.（4）空间向量数量积的性质：①。②。③。（5）空间向量数量积运算律：①。②（交换律）。③（分配律）。④不满足乘法结合率：二、基础训练1.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与=2.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为3．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且

4、

5、＝1，

6、

7、＝2，

8、

9、＝3，则等于4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，

10、且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足＝λ的实数λ的值有6.二面角α－l－β的平面角为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为4．已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________.8.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB

11、＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA、DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．5．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以，为边的平行四边形的面积为________．10.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．三、例题选讲★例1.已知平行六面体，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。⑴；⑵；⑶；⑷。★例2.已知平行四边形ABCD，从平面外一点引向量。。（1）求证：四点共面；（2）平

12、面平面。★★例3.如图正方体中，，求与所成角的余弦。★★例4、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长．★★★例5.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求向量与的夹角的余弦值．课后总结①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④掌握空间向量的数量积及其坐标表

13、示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。四、当堂检测1.（2017江苏.22）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120º.（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A1D-A的正弦值。2.（2013江苏.22）如图，在直三棱柱中，,,,点是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值（2）求平面与所成二面角的正弦值。3.（2011江苏.22）如图，在正四棱柱中，，点是的中点，