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1、第3章连续信号与系统的频域分析3.0引言3.1信号的正交分解3.2周期信号的连续时间傅里叶级数3.3周期信号的频谱3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换3.5傅里叶变换的性质3.6周期信号的傅里叶变换3.7连续信号的抽样定理3.8连续系统的频域分析3.0引言LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。把信号表示成一组基本信号的积分，用系统对这些基本信号的响应来构成系统对任意信号的响应。在时域中是把移位的冲激函数作为基本信号；在频域中用复指数函数作为基本信号。在时域中是以冲激响应
2、作为基本响应；在频域中以系统对复指数信号的响应作为基本响应。把信号表示为一组不同频率的复指数函数或正弦信号的加权和，称为信号的频谱分析或傅立叶分析，简称为信号的谱分析。用频谱分析的观点分析系统，称为系统的频域分析或傅立叶分析。复指数是LTI系统的特征函数。即若LTI系统的输入为复指数函数，输出仅与输入信号的频率有关而与时间无关。复指数函数是正交函数，用正交函数集表示任意信号可以得到比较简单而又足够精确的表示式。信号频谱和信号本身同样可以实现观测。如可用频谱分析仪来观测信号的频谱。3.1信号的正交分解3.1.1矢量的正交分解1.正交矢量图3
3、.1-1两个矢量正交两矢量V1与V2正交时的夹角为90°。不难得到两正交矢量的点积为零，即图3.1-2矢量的近似表示及误差所以最佳系数为若V1与V2正交，则θ=90°,cosθ=0，此时由式(3.1-2)得到的最佳系数c12=0。这表明当V1与V2正交时，用c12V2来近似表示V1还不如用0来近似V1。据此，我们可以把两个矢量V1与V2正交的概念解释如下：给定两个矢量V1和V2，现在要用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求误差矢量的模
4、Ve
5、最小(此时的c12称为最佳)。若最佳的c12=0，则V1与V2正交。由式(3.1-
6、2)可知，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。2.矢量的分解图3.1-3平面矢量的分解式中，V1·V2=0。图3.1-4三维空间矢量的分解上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集{V1,V2,…，Vn}为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合，即式中，Vi·Vj=0(i≠j)。第r个分量的系数3.1.2信号的正交分解1.正交函数设f1(t)和f2(t)为定义在(t1,t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比
7、例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为设f1(t)、f2(t)均为复函数，此时，c12也可能为一复数系数。式中，“*”代表取共轭复数。将上式右边展开，得根据该式，上式中，据平方误差的定义知Ee≥0，式中惟一可供选择的参数为c12。为使Ee最小，只有选择c12=B，于是有2.信号的正交展开设有一函数集｛g1(t),g2(t)，…，gN(t)｝，它们定义在区间(t1,t2)上，如果对于所有的i、j(可取1,2,…，N)都有则该函数集就称为区间(t1,t2)上的正交函数集。如果则称该函数集为归一化正交函数集。用一个在区间
8、(t1,t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1,t2)区间上的信号f(t)，即这种近似表示所产生的平方误差为同样可以导出，欲使平方误差最小，其第r个函数gr(t)的加权系数cr应按下式选取：此时的平方误差为(3.1-12)(3.1-13)定理3.1-1设｛gi(t)｝在(t1,t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为｛gi(t)｝的线性组合，即式中，ci为加权系数，且有式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，ci称为
9、傅里叶系数。(3.1-14)(3.1-15)定理3.1-2在式(3.1-14)条件下，平方误差Ee=0，由(3.1-13)式有式(3.1-16)可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和，即能量守恒。定理3.1-2有时也称为帕塞瓦尔定理。(3.1-16)复指数函数是正交函数集其中，T0=2π/ω0是它的基波周期。3.1.3常见的正交函数集正弦函数和余弦函数是正交函数集其中，T0=2π/ω0是它们的基波周期。3.2周期信号的连续时间傅里叶级数3.2.1三角函数形式的傅里叶级数三角函数集｛cosnΩt,sinnΩt
10、n=0,1,2,…｝
11、是一个正交函数集，正交区间为(t0,t0+T)。这里T=2π/Ω是各个函数cosnΩt，sinnΩt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：上述正交三角函数集中，当n=0时，cos0°=
