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《南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题10：(选讲)数列难点专项研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题10:数列难点专项研究问题归类篇类型一：等差、等比数列的证明—、咼考回顾1.(2011年高考题)设M为部分正整数组成的集合，数列｛如｝的首项％=1,前”项的和为S”，已知对任意整数kQM,当〃>£时,S”+汁S”*=2(S“+SQ都成立.设M=｛3,4｝,求数列仏｝的通项公式.解：由题意对任意整数©3,4｝,当n>k时，S^k+Sf1-k=2(S„+Sk)都成立,则当“24时，S"+3+S”・3=2(S”+S3),①当心5时，S“+4+S_4=2(S”+S4)，②由①得当心5时，S”+2+S”_4=2(S〃-1+S3),③由①一③得当心5时，d“+3+a”-3=2a
2、“，由②得当心6时，必+3+5-5=2(必-】+更)，④由②一④得当n26吋，Q”+4+a〃-4=2d”，方法一：当心8时,d”_6，0”-3，d“，a”+3,d"+6成等差数列，且d"-6，Q"-2,a”+2，Q“+6也成等差数列,从而当〃事8时，2。”=。”+3+。”-3=。”+6+0"-6，⑤且0”+2+。"-2=。”+6+。"-6・⑥所以当〃鼻8时，2Q"=a“+2+d"-2，⑦于是，当心9时，a“-3,an-ta“+i，a”+3成等差数列,ifljQ"+3+g“-3Q”十1+。"-1，rtl式知2a”d”十]+a“-],艮卩cin+)cincintz”-],
3、所以｛Q〃｝从第八项开始成等差数列，设其公差为d.当2W/W8时，加+6N8,从而由⑤式知2g,”+6=q加+如+12，故2切+7=為+1+。"汁13,从而2(禺+7—冷+6)=切+1一切+(切+13一切+12)，于是a,n^｛—am=2d—d=d.因此给+1—外=〃，对任意都成立.在①中，令刀=4得S7+S
4、=2(S4+S3),即(S7—S4)—(S4—Si)=2S3，故9J=2S3.在②中，令77=5得S9+S1=2(S5+S4)，即0—S5)—(S5—Si)=2S5，故16d=2S5.解得°4=診,从而。2=詁°】=如因此，数列｛外｝为等差数列,由Qi=l知d=2
5、,所以数列｛q“｝的通项公式为a„=2n—.方法二：因为当心5时,an+3+an-3=2an,所以°2，俯，。8，…成等差数列，设其公差为di，则a^n-=a2--(n—)d.d3，。6，09，…成等差数列，设其公差为〃2，则。3“=03+(力一1)〃2・°4，。7,Q10,…成等差数列，设其公差为“3，则。3"+1=。4+(〃一1)〃3・因为当斤26时，a“+4+Q"-4=2a",所以他，细，©0,…成等差数列，设其公差为由于。14=。2+4〃1=。2+3〃,所以4d=3d.由于。18=。6+4〃1=。6+3〃，所以4d=3d.由于。21=。9+4〃1=
6、09+3〃,所以4d=3d.所以〃］=〃2=〃3=評.由°10=。2+2(7=04+2d?，所以他—ci2=弓I•所以2a3=a2+a4.苗2如"—Q3”-l+d3”+l，即^3”+1—。3"—。3"—所以｛冷｝从第二项开始成等差数列.下同方法一.思考：设M=｛2,5｝,求数列｛外｝的通项公式.1.(2017年高考题)对于给定的正整数若数列｛。“｝满足：0“-人'+给-&+】an-+an+-a“+&-i+an+k=2kanf对任意正整数n(n>k)总成立，贝】J称数列｛“｝是“卩伙)数列”.若数列仙｝既是“卩⑵数列”，又是“P(3)数列”,证明：｛如是等差数列.
7、证明:数列｛给｝既是"P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当“M3吋，an-2+an-1+a„+]+an+2=4tzz/,①当刃24时，g“-3+q”-2+q“-i+q”+i+q“+2+q〃+3=6q”.②由①知，an-3+5-2=4。“-1—(Q”+Q卄1),③冷+2+给+3=4。“+1—(a〃-1+a„)•④将③④代入②，得a„-+an+=2ani其中所以。3，。4,。5，…是等差数列，设其公差为/.在①中，取刀=4,则①+如+殆+血二彳他，所以02=心—/,在①中，取〃=3,则％+(22+04+^5=4如，所以Q=Cl3_2cT,所以数列｛给｝是等差
8、数列.思考:设M=｛2,5｝,求数列｛a”｝的通项公式.二、方法联想由含有S”和Q”的多阶递推证明等差数列时，可能需要多次退位作差.目标:(l)2a“=a“・i+a“+i；(2)转化为常见的二阶递推关系：I心°Fg—i■州-1+“'5+a卄1—火/7)；卄1~y(力)；(3)2
