南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题10：(选讲)数列难点专项研究.pdf

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1、南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题10：数列难点专项研究目录问题归类篇...............................................................................................................................................................2类型一：等差、等比数列的证明....................................................................................

2、...............................2类型二：等差、等比数列中的求值...............................................................................................................9类型三：等差、等比数列中的探究.............................................................................................................20数学I试卷第1页（共4页）

3、南京市2019届高三数学二轮专题复习资料问题归类篇类型一：等差、等比数列的证明一、高考回顾1．(2011年高考题)设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1＝1，前n项的和为Sn，已知对任意整数k∈M，当n＞k时，Sn＋k＋Sn－k＝2(Sn＋Sk)都成立．设M＝{3，4}，求数列{an}的通项公式．解：由题意对任意整数k∈{3，4}，当n＞k时，Sn＋k＋Sn－k＝2(Sn＋Sk)都成立，则当n≥4时，Sn＋3＋Sn－3＝2(Sn＋S3)，①当n≥5时，Sn＋4＋Sn－4＝2(Sn＋S4)，②由①得当n≥5时，Sn＋2＋Sn－4＝2(Sn－1＋S3)，③由①－③得当n≥5时，an

4、＋3＋an－3＝2an，由②得当n≥6时，Sn＋3＋Sn－5＝2(Sn－1＋S5)，④由②－④得当n≥6时，an＋4＋an－4＝2an，方法一：当n≥8时，an－6，an－3，an，an＋3，an＋6成等差数列，且an－6，an－2，an＋2，an＋6也成等差数列，从而当n≥8时，2an＝an＋3＋an－3＝an＋6＋an－6，⑤且an＋2＋an－2＝an＋6＋an－6．⑥所以当n≥8时，2an＝an＋2＋an－2，⑦于是，当n≥9时，an－3，an－1，an＋1，an＋3成等差数列，从而an＋3＋an－3＝an＋1＋an－1，故由⑤式知2an＝an＋1＋an－1，即an＋1－an＝an－

5、an－1，所以{an}从第八项开始成等差数列，设其公差为d.当2≤m≤8时，m＋6≥8，从而由⑤式知2am＋6＝am＋am＋12，故2am＋7＝am＋1＋am＋13，从而2(an＋7－an＋6)＝am＋1－am＋(am＋13－am＋12)，于是am＋1－am＝2d－d＝d．因此an＋1－an＝d，对任意都n≥2成立．在①中，令n＝4得S7＋S1＝2(S4＋S3)，即(S7－S4)－(S4－S1)＝2S3，故9d＝2S3．在②中，令n＝5得S9＋S1＝2(S5＋S4)，即(S9－S5)－(S5－S1)＝2S5，故16d＝2S5．731解得a4＝d，从而a2＝d，a1＝d．因此，数列{an}为

6、等差数列，222由a1＝1知d＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1．方法二：因为当n≥5时，an＋3＋an－3＝2an，所以a2，a5，a8，…成等差数列，设其公差为d1，则a3n－1＝a2＋(n－1)d1.a3，a6，a9，…成等差数列，设其公差为d2，则a3n＝a3＋(n－1)d2.a4，a7，a10，…成等差数列，设其公差为d3，则a3n+1＝a4＋(n－1)d3.因为当n≥6时，an＋4＋an－4＝2an，所以a2，a6，a10，…成等差数列，设其公差为d.由于a14＝a2＋4d1＝a2＋3d，所以4d1＝3d.由于a18＝a6＋4d1＝a6＋3d，所以4d1＝3d.由

7、于a21＝a9＋4d1＝a9＋3d，所以4d1＝3d.3所以d1＝d2＝d3＝d．41由a6＝a2＋d＝a3＋d2，所以a3－a2＝d．4数学I试卷第2页（共4页）南京市2019届高三数学二轮专题复习资料1由a10＝a2＋2d＝a4＋2d2，所以a4－a2＝d．2所以2a3＝a2＋a4．故2a3n＝a3n-1＋a3n+1，即a3n+1－a3n＝a3n－a3n－1，所以{an}从第二项开始成等差数列.下同方法一．思考：设M