南京市2020届高三数学二轮专题复习资料专题10：(选讲)数列难点专项研究.doc

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1、专题10：数列难点专项研究问题归类篇类型一：等差、等比数列的证明一、高考回顾1．(2011年高考题)设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1＝1，前n项的和为Sn，已知对任意整数k∈M，当n＞k时，Sn＋k＋Sn－k＝2(Sn＋Sk)都成立．设M＝{3，4}，求数列{an}的通项公式．解：由题意对任意整数k∈{3，4}，当n＞k时，Sn＋k＋Sn－k＝2(Sn＋Sk)都成立，则当n≥4时，Sn＋3＋Sn－3＝2(Sn＋S3)，①当n≥5时，Sn＋4＋Sn－4＝2(Sn＋S4)，②由①得当n≥5时，

2、Sn＋2＋Sn－4＝2(Sn－1＋S3)，③由①－③得当n≥5时，an＋3＋an－3＝2an，由②得当n≥6时，Sn＋3＋Sn－5＝2(Sn－1＋S5)，④由②－④得当n≥6时，an＋4＋an－4＝2an，方法一：当n≥8时，an－6，an－3，an，an＋3，an＋6成等差数列，且an－6，an－2，an＋2，an＋6也成等差数列，从而当n≥8时，2an＝an＋3＋an－3＝an＋6＋an－6，⑤且an＋2＋an－2＝an＋6＋an－6．⑥所以当n≥8时，2an＝an＋2＋an－2，⑦于是，当n≥9时，a

3、n－3，an－1，an＋1，an＋3成等差数列，从而an＋3＋an－3＝an＋1＋an－1，故由⑤式知2an＝an＋1＋an－1，即an＋1－an＝an－an－1，所以{an}从第八项开始成等差数列，设其公差为d.当2≤m≤8时，m＋6≥8，从而由⑤式知2am＋6＝am＋am＋12，故2am＋7＝am＋1＋am＋13，从而2(an＋7－an＋6)＝am＋1－am＋(am＋13－am＋12)，于是am＋1－am＝2d－d＝d．因此an＋1－an＝d，对任意都n≥2成立．在①中，令n＝4得S7＋S1＝2(S4＋

4、S3)，即(S7－S4)－(S4－S1)＝2S3，故9d＝2S3．在②中，令n＝5得S9＋S1＝2(S5＋S4)，即(S9－S5)－(S5－S1)＝2S5，故16d＝2S5．解得a4＝d，从而a2＝d，a1＝d．因此，数列为等差数列，由a1＝1知d＝2，所以数列的通项公式为an＝2n－1．方法二：因为当n≥5时，an＋3＋an－3＝2an，所以a2，a5，a8，…成等差数列，设其公差为d1，则a3n－1＝a2＋(n－1)d1.a3，a6，a9，…成等差数列，设其公差为d2，则a3n＝a3＋(n－1)d2.a

5、4，a7，a10，…成等差数列，设其公差为d3，则a3n+1＝a4＋(n－1)d3.因为当n≥6时，an＋4＋an－4＝2an，所以a2，a6，a10，…成等差数列，设其公差为d.由于a14＝a2＋4d1＝a2＋3d，所以4d1＝3d.由于a18＝a6＋4d1＝a6＋3d，所以4d1＝3d.第31页共31页由于a21＝a9＋4d1＝a9＋3d，所以4d1＝3d.所以d1＝d2＝d3＝d．由a6＝a2＋d＝a3＋d2，所以a3－a2＝d．由a10＝a2＋2d＝a4＋2d2，所以a4－a2＝d．所以2a3＝a2

6、＋a4．故2a3n＝a3n-1＋a3n+1，即a3n+1－a3n＝a3n－a3n－1，所以{an}从第二项开始成等差数列.下同方法一．思考：设M＝{2，5}，求数列{an}的通项公式．2．(2017年高考题)对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．证明：数列{an}既是“P

7、(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，在①中，取n＝3，则a1＋a

8、2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，所以数列{an}是等差数列．思考：设M＝{2，5}，求数列{an}的通项公式．二、方法联想由含有Sn和an的多阶递推证明等差数列时，可能需要多次退位作差．目标：(1)2an＝an－1＋an＋1；第31页共31页(2)转化为常见的二阶递推关系：an－an－1＝f(n)；＝f(n)；an＝pan－1＋q；an＝pan－1＋f(n；an＝；an＋an＋1＝f(n)；ana