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《概率论第四章(二)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节方差方差的定义方差的计算方差的性质切比雪夫不等式课堂练习小结布置作业上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹
2、着点较集中在中心附近.中心中心由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度.但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.一、方差的定义设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在,称E[(X-E(X)]2为X的方差.记为D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2若X的取值比较分散，则方差D(X)较大.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差D(X)较小
3、；因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。X为离散型，分布率P{X=xk}=pk由定义知，方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.二、方差的计算X为连续型，X概率密度f(x)计算方差的一个简化公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2展开证：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性质例1设随机变量X具有(0—1）分布，其分布率为求D(X).解由公式因此,0-1分布例2解X的分布率为上节已算得因此,泊松分布例3解因此,均匀
4、分布例4设随机变量X服从指数分布,其概率密度为解由此可知,指数分布三、方差的性质1.设C是常数,则D(C)=0;2.若C是常数,则D(CX)=C2D(X);3.设X与Y是两个随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}4.D(X)=0P{X=C}=1,这里C=E(X)下面我们证明性质3证明若X,Y相互独立,由数学期望的性质4得此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.例6设X~B(n,p)，求E(X)和D(X).若设i=1,2，…，n则是n次试验中“成功”的次数下面我们举例说明方差性质的应用.解X~B(n,p),“成功”次数.则X表示n重
5、努里试验中的于是i=1,2，…，n由于X1,X2,…,Xn相互独立=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p),例7解于是例如,例8解由于故有四、切比雪夫不等式或由切比雪夫不等式可以看出，若越小，则事件{
6、X-E(X)
7、<}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.证我们只就连续型随机变量的情况来证明.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.vX与它的期望的偏差不小于的概率的估计式.如取可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，则r.vX取值偏离E(X)超过3的概率小于0.111.例9已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式
8、估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为P(5200X9400)P(5200X9400)=P(-2100X-E(X)2100)=P{
9、X-E(X)
10、2100}由切比雪夫不等式P{
11、X-E(X)
12、2100}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.例10在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解：设X为n次试验中，事件A出现的次数，E(X)=0.75n,的最
13、小的n.则X~B(n,0.75)所求为满足D(X)=0.75×0.25n=0.1875n=P(-0.01n14、X-E(X)
15、<0.01n}P(0.74n16、X-E(X)
17、<0.01n}解得依题意，取即n取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90.五、课堂练习
