略谈学生数学解题能力的培养策略

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略谈学生数学解题能力的培养策略晋江市平山中学明廷海文章摘要：木文主要结合近几年高考对学生解题能力的要求上变化，谈谈数学解题能力的组成与培养策略问题。关键字：审题用题建模基础应用开放反思数学解题能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综介应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活屮的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述.它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现.山于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考杏，强调了综合性.这就对考生数学解题能力提出了更高的要求，也使试卷的题型更新、更具冇开放性.纵观近儿年的高考，学生在这一方面失分的普遍存在，如2004年的理科22题、2005年的理科21、22题、2006年的理科21、22题,这就要求我们教师在平时教学中注重数学解题能力的培养，以减少在这一方血的失分.笔者就数学解题能力的组成及培养谈儿点刍见.一、数学解题能力的组成1.审题能力审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提.审题能力主要是指充分理解题意，把握住题冃木质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力.要快捷、准确地解决问题，掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的.例1已知sina+sin0=血,cosq+cos0=二^二，求tgatg/3的值.分析：怎样利用已知的二个等式？初看好象找不出条件和结论的联系.只好从未知入手，当然，首先想到的是把tga、瑕0分别求出，然后求出它们的乘积，这是个办法，但是不好求；于是可考虑将/ga/g0写成,转向求sinasin/?、COSGCOS0COS(7COSp.令yx=cos«cosP,y=sincrsin(i,于是tgatg(3=—.x从方程的观点看，只要有兀、y的二元一次方程就可求岀兀、y.于是转向求 x+y=cos(tz-/?),x-y=cos(cr+0).这样把问题转化为下列问题：已知sin+sin/?=a/2①cosa+cosp-②求cos(a+0)、cos(a-0)的值.in2(D~+②-得2+2cos(q—0)——,cos(q-0)——21②$-⑪得cos2cz+cos2/?+2cos(q+0)=—，cos(a+0)=——.这样问题就可以解决.从刚才的解答过程屮可以看出，解决此题的关键在于挖掘所求和条件Z间的联系，这需耍一定的审题能力•转化能力.由此可见，审题能力应是数学解题能力的一个棊本组成部分.1.合理应用知识、思想、方法解决问题的能力高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、向量、立体几何、解析几何、概率、导数等内容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等慕木方法.只冇理解和掌握数学棊本知识、思想、方法，才能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅.例2(2006年福建卷高考题)已知函数f(x)=—x2+8x,g(x)=61nx+m(I)求/U)在区间［方,纤1］上的最大值力⑺；(II)是否存在实数加，使得y=f(x)的图象与尸gd)的图象有且只有三个不同的交点?若存在，求出/〃的取值范围；，若不存在，说明理由。解：(I)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.当/+1v4,即rv3时，/(Q在［f,f+1］上单调递增，h⑴=/(r+l)=—(/+1)2+8(r+1)=-t2+6/+7;当r<44时，/(X)在［/J+1］上单调递减，/i(/)=/(0=-r2+8r.―/+6f+7,f<3,综上，/?(/)=<16,34(TT)函数y=f(x)的图彖与y=g(x)的图彖冇.Fl•只冇三个不同的交点，即函数^(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有11只有三个不同的交点。•/0（x）=x2-8x+61nx+m,...03=2兀_8+@=X一心+6=2（x-l）（x-3）（兀〉0）,XXX当兀W（0,1）时，0G）>O,0（兀）是增函数;当XG（0,3）时,0G）<0,0（兀）是减函数;当"（3,+00）时,0（兀）>0,0（兀）是增函数;当x=1,或兀=3时，0‘⑴=0.••0（兀）最大值=0（1）=加—7,0（兀）最小值—0（3）=tn+61n3—15.•・•当兀充分接近0时,0（兀）<0,当兀充分大时,0⑴>0..••要使0(幻的图象与兀轴正半轴有三个不同的交点，必须11只须即70,0(兀)最小值=^+61n3-15<0,所以存在实数加，使得函数y=/(x)与y二gd)的图象有且只有三个不同的交点，加的取值范围为(7,15—61n3)•在上述的解答过程中可以看出，木题主要考查函数的单调性、极值等基木知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。1.数学建模能力近几年来，在高考数学试卷屮，都有几道实际应用问题，这给学生的数学解题能力提出了挑战.而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心.例3(福建卷)统计表明，某种型号的汽忘在匀速行驶中每小吋耗油量y(升)关于行驶13速度/(千米/小时)的函数解析式可以表示为：尸X2-—x+8(0<^120).Q知12800080甲、乙两地相距100千米。(I)当汽车以40T米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(II)当汽车以多大的速度匀速行驶吋，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：(T)当兀=40时，汽车从甲地到乙地行驶了—=2.5小时，4013要耗没(x403——x40+8)x2.5=17.5(升)。12800080答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶吋，从甲地到乙地耗油17.5刃・。(II)当速度为兀千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了宜小时，设耗汕量为处0升,X依题意得/?(%)=(—i—X3-—X+8).—=—!—x2+—-—(0<%<120),12800080x1280x4蚀=总卑=浮(。<曰2。).640x640x~当xw(0,80)时，h'(x)<0,/?(x)是减两数；当xw(80,120)时,hx)>0,/z(x)是增函数。.•.当x=80时,/?(%)取到极小值/?(80)=11.25.因为加切在(0,120］上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从「卩地到乙地耗油最少，最少为11.25升。本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。在该题的解答屮，学牛若没有一定的数学建模能力，正确解决此题实属不易.因此,建模能力是数学解题能力不可或缺的一个组成部分.二、培养和提高数学解题能力的策略1.重视通性通法教学，引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法数学思想较Z数学基础知识，冇更高的层次和地位.它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范峙，川以对数学问题的认识、处理和解决.数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段•只冇对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只冇领悟了数学思想与方法，书本的、別人的知识技巧才会变成口已的能力.每一•种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成：(1)由于概念本身需要分类的，彖等比数列的求和公式中对公比g的分类和直线方程中对斜率£的分类等；(2)同解变形屮需要分类的，如含参问题小对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等.乂如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等.因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“思想”或“方法”的个性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题冇效.从而培养和捉高学牛合理、正确地应用数学思想与方法数学解题能力.2.加强应用题的教学，提高学牛:的模式识别能力高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考杏的重点，而高考中的应用题就着重考杳这方血的能力， 数学是充满模式的，就解应用题而言，对其数学模式的识别是解决它的前提.山于高考考查的都不是原始的实际问题，命题者对生产、生活中的原始问题的设计加工使每个应用题都有其数学模型.如2003年的“台风问题”为解析几何与不等式；2004与2005年为概率与分布列的问题；2006年的“耗油问题”是函数、导数及其应用等等.在高中数学教学中,不但婆重视应用题的教学，同时耍対应用题进行专题训练，引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型，这样学生才能有的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题.1.适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用数学思想和方法解决问题•近年来,随着新技术革命的飞速发展，要求数学教冇培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才，这一点体现在高考上就是一•些新背景题、开放题的出现，更加注重了能力的考查.由于开放题的特征是题冃的条件不充分，或没有确定的结论，|佃新背景题的廿景新，这样给学生在题意的理解和解题方法的选择上制造了不少的麻烦，导致失分率较高.只有在读懂所给的题意的前提下，才能正确作出解答.因此，在高小数学教学小适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面是提高学生数学解题能力的必耍的补充.4.重视解题的回顾在数学解题过程屮，解决问题以后，再回过头來对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个重要环节.这是数学解题过程的最示阶段，也是对提高学生数学解题能丿J最冇意义的阶段.解题教学的H的并不单纯为了求得问题的结果,真正的ri的是为了提高学生数学解题能力，培养学生的创造精神，而这一教学冃的恰恰主要通过回顾解题的教学來实现.所以，在数学教学屮要十分重视解题的回顾，与学牛一起对解题的结果和解法进行细致的分析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，可以帮助学牛•从解题中总结出数学的基木思想和方法加以掌握，并将它们用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的冇力武器.