（全国通用）2020版高考数学第四层热身篇专题检测（二十四）不等式选讲.docx

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1、专题检测（二十四）不等式选讲大题专攻强化练1．(2019·昆明市质量检测)已知函数f(x)＝

2、2x－1

3、.(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f≥4.解：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于

4、2x－1

5、＋

6、2x＋1

7、≥4，等价于或或解得x≤－1或x≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)证明：当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f＝

8、－2x－1

9、＋，因为

10、－2x－1

11、＋≥＝2

12、x

13、＋≥4，当且仅当即x＝±1时等号成立，所以f(

14、－x)＋f≥4.2．(2019·沈阳市质量监测(一))设a>b>0，且ab＝2，记的最小值为M.(1)求M的值，并写出此时a，b的值；(2)解关于x的不等式：

15、3x＋3

16、＋

17、x－2

18、>M.解：(1)因为a>b>0，所以a－b>0，>0，根据基本不等式有＝＝a－b＋≥4，当且仅当即时取等号，所以M的值为4，此时a＝＋1，b＝－1.(2)当x≤－1时，原不等式等价于－(3x＋3)＋(2－x)>4，解得x<－；当－14，解得－

19、等价于(3x＋3)＋(x－2)>4，解得x≥2.综上所述，原不等式的解集为∪.　3．已知函数f(x)＝

20、x－2

21、.(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥5.(2)若

22、a

23、>1，且f(ab)>

24、a

25、·f，证明：

26、b

27、>2.解：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥5等价于

28、x－2

29、＋

30、x－1

31、≥5，当x>2时，(x－2)＋(x－1)≥5，x≥4；当1≤x≤2时，(2－x)＋(x－1)≥5，1≥5，无解；当x<1时，(2－x)＋(1－x)≥5，x≤－1.综上，不等式的解集为{x

32、x≥4或x≤－1}．(2)证

33、明：f(ab)>

34、a

35、·f⇔

36、ab－2

37、>

38、a

39、·⇔

40、ab－2

41、>

42、b－2a

43、⇔(ab－2)2>(b－2a)2⇔a2b2＋4－b2－4a2>0⇔(a2－1)(b2－4)>0.因为

44、a

45、>1，所以a2－1>0，所以b2－4>0，

46、b

47、>2.4．已知a，b∈(0，＋∞)，且2a4b＝2.(1)求＋的最小值；(2)若存在a，b∈(0，＋∞)，使得不等式

48、x－1

49、＋

50、2x－3

51、≥＋成立，求实数x的取值范围．解：(1)由2a4b＝2可知a＋2b＝1，又因为＋＝(a＋2b)＝＋＋4，由a，b∈(0，＋∞)可知＋＋

52、4≥2＋4＝8，当且仅当a＝2b时取等号，所以＋的最小值为8.(2)由(1)及题意知不等式等价于

53、x－1

54、＋

55、2x－3

56、≥8，①所以x≤－.②无解，③所以x≥4.综上，实数x的取值范围为∪[4，＋∞)．5．(2019·济南市模拟考试)已知函数f(x)＝

57、x－2

58、＋

59、2x－1

60、.(1)求不等式f(x)≤3的解集；(2)若不等式f(x)≤ax的解集为空集，求实数a的取值范围．解：(1)法一：由题意f(x)＝当x≤时，f(x)＝－3x＋3≤3，解得x≥0，即0≤x≤，当

61、x≤2，即ax对任意x∈R恒成立，即函数y＝ax的图象始终在函数y＝f(x)的图象的下方，当直线y＝ax过点A(2，3)以及与直线y＝－3x＋3平行时为临界情况，所以－3≤a<，即

62、实数a的取值范围为.6．(2019·广州市调研测试)已知函数f(x)＝

63、x－a

64、(a∈R)．(1)当a＝2时，解不等式＋f(x)≥1；(2)设不等式＋f(x)≤x的解集为M，若⊆M，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，原不等式可化为

65、3x－1

66、＋

67、x－2

68、≥3，①当x≤时，1－3x＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0；②当＜x＜2时，3x－1＋2－x≥3，解得x≥1，所以1≤x＜2；③当x≥2时，3x－1＋x－2≥3，解得x≥，所以x≥2.综上所述，当a＝2时，不等式的解集为.(2)不等式＋f(

69、x)≤x可化为

70、3x－1

71、＋

72、x－a

73、≤3x，依题意不等式

74、3x－1

75、＋

76、x－a

77、≤3x在x∈上恒成立，所以3x－1＋

78、x－a

79、≤3x，即

80、x－a

81、≤1，即a－1≤x≤a＋1，所以解得－≤a≤，故实数a的取值范围是.7．(2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.解：(1)因为[(x－1)＋(y＋1)＋