同济大学概率论与数理统计第七章.ppt

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1、第七章随机变量的数字特征主要内容数学期望方差与标准差协方差和相关系数两个不等式中心极限定理一、数学期望（均值）期望定义常见分布的期望随机变量函数的期望期望的性质引例：某校有3个学生英语考试成绩分别为85、70、70，求平均成绩。常见分布的期望例1.设随机变量X~B（5，p），已知E（X）=1.6，求参数p.例2.设随机变量，已知P=0.32E(X)=4随机变量函数的期望例3．试分别求下列分布的重新计算例5中两个分量的期望。性质（3),（4）可以推广到任意有限个随机变量上去。（1）设随机变量，则（2）设随机变量,则例6．证明二项分布的数学期望证:∵∴且相互独立

2、,例7.设X，Y相互独立，X~参数为2的指数分布，Y~参数为3的指数分布，求E（2X+3Y），E（XY）。答：E（2X+3Y）=2E(X)+3E(Y)=2*1/2+3*1/3=2E（XY）=E(X)E(Y)=1/6例8.设X，Y相互独立，X~R（2，6），Y~R（-1,3）求E（2X-3Y+3），E（2XY），E(X2).答：由已知可得E（X）=4，E（Y）=1，E（2X-3Y+3）=2E（X）-3E（Y）+3=8；E（2XY）=2E(X)E(Y)=8；E(X2).=（a2+ab+b2)/3=（4+12+36）/3=52/3二、方差与标准差定义常见分布方差性

3、质定义常见分布方差方差性质一般的，有设相互独立，则X~B（n,p）,则X=X1+X2+…+XnXi~B(1,p)且相互独立。由性质得D（X）=DX1+DX2+…+DXn=np(1-p)例12设X，Y相互独立，X~R（0，3），Y~参数为2的指数分布，求D（X+Y）,E(X2Y2).解：D(X+Y)=D(X)+D(Y)=3/4+1/4=1由X，Y相互独立可推得X2，Y2相互独立，因此E(X2Y2)=E(X2)E(Y2)={D(X)+[E(X)]2}{D(Y)+[E(Y)]2}={3/4+9/4}{1/4+1/4}=3/2例13设X，Y相互独立，X~N（1,4）

4、，Y~N(0,1)，1).求E(X-2Y),D（X-2Y）,2).求Z=X-2Y的密度函数解：E(X-2Y)=1D（X-2Y）=D(X)+4D(Y)=4+4=8Z=X-2Y~N(1,8)三、协方差和相关系数协方差定义协方差性质相关系数定义相关系数性质协方差定义E（X）=0，E（Y）=1，E（XY）=-1/3，可以推出Cov（X,Y）=-1/3求Cov（X，Y）例16试证cov(X+Y,X-Y)=D(X)-D(Y)证：cov(X+Y,X-Y)=cov(X,X)-cov(X,Y)+cov(Y,X)-cov(Y,Y)=D(X)-D(Y).相关系数定义四、两个不等式

5、五、中心极限定理大数定律中心极限定理（一）大数定律依概率收敛定义独立同分布情形下的大数定律依概率收敛独立同分布情形下的大数定律（二）中心极限定理进一步说明：