信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第2章-连续时间信号与系统《信号与系统》第二章-第11讲.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§2-11LTI微分方程的求解国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点微分方程的时域经典解法微分方程的时域经典解法2-11LTI微分方程的求解本讲研究具有初始状态的连续时间LTI系统在外部强制输入信号作用下的系统输出（或者响应）问题。这里仅讨论常系数微分方程解法中涉及本课程内容的基本方法。连续时间LTI系统的动态特性可用阶常系数微分方程来描述，其一般形式为（2-11-1）式中和分别表示系统的输入和输出信号，且和是与时间无关的实常数。如果式（2-11-1）要与一个真实的物理系统完全对应，还要求满足。2-11LTI微分方程的求解系统的初始

2、状态（或条件）是式（2-11-1）中隐含的一个约束条件。因为形式上式（2-11-1）除了外部输入信号作用之外，方程还被来自系统内部的初始状态（一般由系统的过去到初始时刻累积的系统能量确定）产生的内部作用所驱动。从微分方程基础理论可知，要求解阶常系数微分方程（式（2-11-1）），必须给定一组初始条件：。这组初始状态包含输出及其n-1阶导数在系统的初始时刻时的信息，也就是说系统的初始状态必须是已知的，或者是可以求出的。2-11LTI微分方程的求解2-11LTI微分方程的求解系统的初始状态要求在时刻包含两方面的含义：一方面如果需要获得时刻系统对单位冲激信号作用下的系统的单位冲激响应，积分的下限必

3、须从时刻开始，以便在整个积分区间完全包含信号；另一方面，系统在输入信号为零时的响应或输出（称为零输入响应）是由系统的初始状态产生的，而系统的初始状态在输入信号施加于系统之前就已经存在，换句话说，假设输入信号在时刻施加于系统的输入端，那么系统的初始状态必定定义在时刻之前，也就是时刻。解系统的微分方程，就是求出在的任意时刻，在系统初始状态和系统输入信号共同作用下的系统响应（或输出）。2-11LTI微分方程的求解从常微分方程基础理论可知，阶常系数微分方程式（2-11-1）的解由齐次解和特解两部分组成。其中齐次解是微分方程的齐次方程的解，记为；而特解是微分方程的任意一个解，记为。一般而言，系统的初始

4、状态决定方程的齐次解，系统的外部输入信号决定方程的特解。应用中齐次解有时也被称为系统的自然（自由）响应，特解则被称为系统的强迫（受迫）响应。因此，微分方程的完全解就是（2-11-2）2-11LTI微分方程的求解注意，齐次解满足相应的微分方程的齐次方程，即令式（2-11-1）中，可得到（2-11-3）而特解是任何满足微分方程式（2-11-1）的解，它不取决于系统的初始状态是什么。2-11LTI微分方程的求解讨论了系统的齐次解和特解之后，下面我们还需要引入所谓的零输入响应和零状态响应的概念。在通常情况下，零输入响应和零状态响应分别对应着动态系统微分方程解中的齐次解部分和特解部分。它们的定义是定义

5、2-11-1仅由系统的（内部）初始状态产生的LTI系统的响应称为系统的零输入响应，记为。此时系统的外部输入信号置为零。定义2-11-2仅由系统的外部输入信号产生的LTI系统的响应称为系统的零状态响应，记为。此时系统的（内部）初始状态置为零。2-11LTI微分方程的求解由零输入响应和零状态响应的定义可知，LTI系统的响应包括两个分量：一个分量是由系统的初始状态决定的零输入响应，另一个分量是由系统的外部输入信号产生的零状态响应。因此，对于连续时间LTI系统，式（2-11-1）的解又可以由给出。内容安排2-11-1齐次解2-11-2特解2-11-3完全解2-11-1齐次解将微分方程（式（2-11-

6、1））中与输入信号相关的项全部置为零，即可得到系统微分方程的齐次方程。因此，对于连续时间LTI系统而言，就是齐次方程（2-11-4）的解。设齐次微分方程的解。对求各阶导数，有2-11-1齐次解将上述各项代入式（2-11-4），有如果假设齐次解是非平凡解()，那么由上式可得这个方程称为微分方程（式（2-11-1））的特征方程(characteristicsequation)，它是关于参量的一个（特征）多项式，记为（2-11-5）2-11-1齐次解特征多项式可分解为（2-11-6）因此，满足该方程的有n个值，记为即式（2-11-6）中的n个值称为系统的特征值，所对应的满足齐次方程式（2-11-4

7、），其中为常数。由于微分方程是线性的，这些解的和仍然是方程的解。常微分方程的基础理论指出，根据系统特征方程的特征值的特性（单根、重根还是复数根），可以用系统的方法推测出齐次解的表达式。2-11-1齐次解1、系统的特征值是单根（2-11-7）若设系统的特征值是单根，即的根满足。由于微分方程是线性的，这些解（单根）的和仍然是方程的解，对于这些单根，式（2-11-4）的齐次解具有如下形式（2-11-8）式中常数的值