高考数学《基本不等式》专题复习教学案.doc

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1、基本不等式【知识梳理】一、基本不等式≤1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．二、几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)．三、算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四、利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且

2、仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)【基础自测】1．函数y＝x＋(x＞0)的值域为________解析：　∵x＞0，∴y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号．答案：[2，＋∞)2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为_______解析：　∵m>0，n>0，∴m＋n≥2＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立．3．已知01，则x＋的最小值为________．解析：x＋＝x

3、－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．答案：55．已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，则z＝＋的最小值为________．解析：由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则＋≥2＝2，故min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和

4、a＋b的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b>0)逆用就是ab≤2(a，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．【考点探究】考点一利用基本不等式求最值【例1】　(1)已知x＜0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为________．(2)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是_______[解]　(1)∵x＜0，∴－x＞0，∴f(x)＝2＋＋x＝2－.∵－＋(－x)≥2＝4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立．∴f(x)＝2

5、－≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2.(2)∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得＝1.∴3x＋4y＝·(3x＋4y)·＝＝＋≥＋×2＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.【一题多变】本例(2)条件不变，求xy的最小值．解：∵x＞0，y＞0，则5xy＝x＋3y≥2，∴xy≥，当且仅当x＝3y时取等号．【由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但

6、无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．【以题试法】1．(1)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．(2)(2011·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．(3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号)．又∵a＋

7、2b≥2≥4(当且仅当a＝2b时取等号)，∴3a＋9b≥2×32＝18.即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18.(3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.考点二多元均值不等式问题【例2】设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．解析：由已知条件可得y＝，所以＝＝≥＝3，当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.【以题试法】若且,求的最小值.考点三基本不等式的实际应用【例3】　(2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y

8、轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮