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《线性代数智能化教学系统第三章线性方程组 第3节.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3.3节向量组的线性相关性向量的定义及运算线性相关与线性无关判别定理在解析几何中我们把既有大小又有方向的量3.3.1n维向量及其运算如向量表示一条由原点指向点叫做向量．如图所示．（2，3）的平面有向线段表示一条由原点指向点（2，3，4）的空间有向线段，如图所示．定义3.3.1n个有次序的数a1,a2,...,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ai称为第i个分量.分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.在这里我们只讨论实向量.n维列向量n维行向量n维向量可
2、写成一行,也可写成一列.为行向量和列向量,也就是行矩阵和列矩阵,并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算.因此,n维列向量与n维行向量T是两个不同的向量.分别称称向量和向量相等．（2）零向量所有分量都为零的向量，用０表是两个n维向量．定义3.3.2设（1）向量相等若ai=bi,i=1,…,n，示，其维数由上下文确定．为向量的负向量．（3）负向量称向量-=(-a1,-a2,…,-an)T由矩阵的运算规则，容易得到向量运算规则.为向量和向量的和；称向量其几何意义如图所示．（1）向量加法向量
3、和向量的减法定义为和（-）的加法：设k是一个数，称向量为向量和数k的数乘向量．向量具有和矩阵相同的加法、数乘等运算的运算规律（2）向量减法（3）数乘向量3.3.2线性相关与线性无关建立了n维向量的概念后，我们再从向量的角度来观察线性方程组．例如，线性方程组它的矩阵方程为也可以把线性方程组写成于是，线性方程组的求解问题就可以看成是求一组数x1,x2,x3,x4，使得等式右端的向量和系数矩阵的列向量之间满足由1,2,...,m线性表出，且称这组数k1,k2,则称是向量1,2,...,m的
4、线性组合,或称＝k11+k22+...+kmm，有一组数k1,k2,...,km,使得定义3.3.2对于向量1,2,...,m,，如果...,km为这个线性组合的组合系数.例1任意三维向量均是向量的线性组合，因为总有例2向量不是向量的线性因为对任意的一组数k1，k2，有组合，例3零向量是任一组向量1,2,...,m的线性组合，因为显然有0=01+02+...+0m.设如何判别向量能否由向量1,2,3线性表出？为解决这个问题，作如下分析：能由向量1,2,3线性表出
5、等价于存在一组数k1,k2,k3，使得=k11+k22+k33，即又等价于线性方程组有解，且k1,k2,k3一组数是它的一个解．显然，上述分析完全适用于一般的情形．因此有以下定理：定理3.3.1向量能由向量组1,2,...,m有解，并且此线性方程组的一个解就是线性组合的线性表示的充分必要条件是线性方程组x11+x22+...+xmm＝一组系数．例4已知向量组试用1,2,3线性表示4．例5已知向量组问可否由1,2,3线性表示4．定义3.3.3给定向量组A:1,2,.
6、..,m,关.则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无k11+k22+...+kmm=0,如果存在不全为零的实数k1,k2,...,km,使由一个向量构成的向量组A:线性相关的充要条件是:=0.下面用一个例子说明两个向量线性相关的情况．如中的向量组线性相关．线性相关性与向量在向量组的排序无关．例6确定下列向量组是否线性无关(1)两个向量构成的向量组线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例．(2)两个几何向量线性相关时，它们共线．由例6可知：下面再来看一个关于三维向量的线性相关性的例子．例7确
7、定下列向量组是否线性无关例7说明，3个线性相关的三维向量共面，而3个线性无关的三维向量不共面．这一结论可推广到空间中的任意3个向量构成的向量组的情形：空间中的任意3个三维向量若线性相关，则它们共面；若线性无关，则它们不共面．3.3.3线性相关性的判别定理向量组A:1,2,...,m构成矩阵A=(1,2,...,m)，向量组A线性相关，就是齐次方程组x11+x22+…+xmm=0，即Ax=0有非零解．立即可得定理3.3.2对于向量组1,2,...,m，若...,m线性无关．齐次线性方
8、程组只有唯一的零解，则向量组1,2,若有非零解，则向量组1,2,...,m线性相关；齐次线性方程组x11+x22+…+xmm=0定理3.3.3向量组1,2,...,m线性相关的必要条件是R(A)=m.的秩小于向量的个数m;向量组线性无关的充分充分必要条件是它所构成的矩阵A=(1,2,...,m)由于一个矩阵的秩不会大于矩阵的行数，因此有相述结论：量个数m时一定线性相关.定理3.3.4m
