三角函数和向量.doc

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1、1．已知锐角α，且5α的终边上有一点P(sin(－50°)，cos130°)，则α的值为(　　)A．8°B．44°C．26°D．40°答案　B解析　∵sin(－50°)＜0，cos130°＝－cos50°＜0，∴点P(sin(－50°)，cos130°)在第三象限．又∵0°＜α＜90°，∴0°＜5α＜450°.又∵点P的坐标可化为(cos220°，sin220°)，∴5α＝220°，∴α＝44°，故选B.2．已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cosα，sinα)，则向量与向量的夹角的取值范围是(　　)A.B.C

2、.D.答案　D解析　由题意，得：＝＋＝(2＋cosα，2＋sinα)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使向量与圆相切时，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值，故选D.3．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足

3、c－a－b

4、＝1，则

5、c

6、的最大值为(　　)A.－1B.C.＋1D.＋2答案　C解析　建立平面直角坐标系，令向量a，b的坐标a＝(1,0)，b＝(0,1)，令向量c＝(x，y)，则有＝1，

7、c

8、的最大值为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1,1

9、)到原点的距离加圆的半径，即＋1.4．已知函数f(x)＝sin－在[0，π]上有两个零点，则实数m的取值范围为(　　)A．[－，2]B．[，2)C．(，2]D．[，2]答案　B解析　如图，画出y＝sin在[0，π]上的图像，当直线y＝与其有两个交点时，∈，所以m∈[，2)．5．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)为偶函数，其图像与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若

10、x2－x1

11、的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是(　　)A.B.C.D.答案　A解析　由函数为偶函数知φ＝＋kπ(k∈Z)．

12、又因为0＜φ＜π，所以φ＝，所以y＝2cosωx.由题意知函数的最小正周期为π，故ω＝2，所以y＝2cos2x，经验证知选项A满足条件．故选A.题型一　三角函数的图像与性质例1　已知函数f(x)＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．解　(1)由已知，得f(x)＝cosx－cos2x＋＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－(1＋cos2x)＋＝sin2x－cos2x＝sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是减函数

13、，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.思维升华　三角函数的图像与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图像求解．　已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)的图像与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均为，求函数y＝f(x)的单调增区间．解　(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋sinω

14、x－cosωx－(cosωx＋1)＝2(sinωx－cosωx)－1＝2sin(ωx－)－1.由－1≤sin(ωx－)≤1，得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin(2x－)－1，再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．题型二　三角函数和解三角形例2　(2015·山东)设f(x)＝sin

15、xcosx－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．解　(1)由题意知f(x)＝－＝－＝sin2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z)．(2)由f＝sinA－＝0，得sinA＝，由题意知A为锐角，所以cosA＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可

16、得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为.思维升华　三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．　已知函数f(x)