中考数学重难点试题训练.doc

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中考数学重难点试题训练1.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．（1）求证：AD=BC；（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．　2.如图，A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y1﹣y2＞0？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．　3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）　 4.已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．（1）求二次函数y=ax2的解析式；（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．①当m=时（图①），求证：△AOB为直角三角形；②试判断当m≠时（图②），△AOB的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）　　5．（本题满分12分，每小题满分各6分）EA第23题DACBA已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE.⑴求证：△ABE∽△ACD；⑵求证：；6．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 已知：如图1，在梯形ABCD中，∠A=90°,AD∥BC,AD=2,AB=3,tanC=,点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，联结BP，交线段DF于点G．（1）若以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切，求PD的长；（2）如图2，过点F作BC的平行线交BP于点E，①若设DP=，EF=，求与的函数关系式并写出自变量的取值范围；②联结DE和PF，若DE=PF，求PD的长．AP第25题图1DACBFAGCEAAP第25题图2DABFAGA备用图DACBFA7、（13分）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系．(1)如图①，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系为________．(2)如图②，若AB＝BC，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想，并加以证明．(3)如图③，若AB＝kBC，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想，并加以证明． 答案与解析1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．（1）求证：AD=BC；（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．分析：（1）由平行四边形的性质易得AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，由全等三角形判定定理及性质得出结论；（2）连接EH，HF，FG，GE，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，易得四边形HFGE为平行四边形，由平行四边形的性质及（1）结论得▱HFGE为菱形，易得EF与GH互相垂直平分．解答：证明：（1）过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，如图1，∵AB∥CD∴四边形ABMC为平行四边形，∴AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，在△ACD和△BDC中，，∴△ACD≌△BDC（SAS），∴AD=BC；（2）连接EH，HF，FG，GE，如图2，∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，∴HE∥AD，且HE=AD，FG∥AD，且FG=，∴四边形HFGE为平行四边形，由（1）知，AD=BC，∴HE=EG，∴▱HFGE为菱形，∴EF与GH互相垂直平分． 　2．如图，A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y1﹣y2＞0？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y=可计算出m的值；（3）设P点坐标为（m，m+），利用三角形面积公式可得到••（m+4）=•1•（2﹣m﹣），解方程得到m=﹣，从而可确定P点坐标．解答：解：（1）当y1﹣y2＞0，即：y1＞y2，∴一次函数y1=ax+b的图象在反比例函数y2=图象的上面，∵A（﹣4，），B（﹣1，2）∴当﹣4＜x＜﹣1时，y1﹣y2＞0；（2）∵y2=图象过B（﹣1，2），∴m=﹣1×2=﹣2， ∵y1=ax+b过A（﹣4，），B（﹣1，2），∴，解得，∴一次函数解析式为；y=x+，（3）设P（m，m+），过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，∴PM=m+，PN=﹣m，∵△PCA和△PDB面积相等，∴BD•DN，即；，解得m=﹣，∴P（﹣，）．　3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）解答：解：（1）直线BC与⊙O相切；连结OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切．（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，∴OB=2r，在Rt△ACB中，∠B=30°，∴AB=2AC=6，∴3r=6，解得r=2．（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠BOD=60°．∴．∴所求图形面积为．4．已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．（1）求二次函数y=ax2的解析式；（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．①当m=时（图①），求证：△AOB为直角三角形；②试判断当m≠时（图②），△AOB的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）考点：二次函数综合题． 分析：（1）把点（2，1）代入可求得a的值，可求得抛物线的解析式；（2）①可先求得A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，结合条件可证明△ACO∽△ODB，可证明∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形；②可用m分别表示出A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，表示出AC、BD的长，可证明△ACO∽△ODB，结合条件可得到∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形；（3）结合（2）的过程可得到△AOB恒为直角三角形等结论．解答：（1）解：∵y=ax2过点（2，1），∴1=4a，解得a=，∴抛物线解析式为y=x2；（2）①证明：当m=时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，1），B（8，16），分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，如图1，∴AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，∴==，且∠ACO=∠ODB，∴△ACO∽△ODB，∴∠AOC=∠OBD，又∵∠OBD+∠BOD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，∴△AOB为直角三角形；②解：△AOB为直角三角形．证明如下：当m≠时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或， ∴A（2m﹣2，（m﹣）2），B（2m+2，（m+）2），分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，如图2，∴AC=（m﹣）2，OC=﹣（2m﹣2），BD=（m+）2，OD=2m+2，∴==，且∠ACO=∠ODB，∴△ACO∽△OBD，∴∠AOC=∠OBD，又∵∠OBD+∠BOD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，∴△AOB为直角三角形；（3）解：由（2）可知，一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的交点为A、B，则△AOB恒为直角三角形．（答案不唯一）．点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角的判定和性质、直角三角形的判定等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意表示出A、B两点的坐标，构造三角形相似是解题的关键，在（3）中答案不唯一，可结合（2）的过程得出．本题知识点较多，综合性很强，难度较大．EA第23题DACBAO5．证明：（1）∵∠BAC=∠DAE∴∠BAE=∠DAC…………………………2分∵∠BAC=∠BDC，∠BOA=∠DOC∴∠ABE=∠ACD…………………………………………………2分∴△ABE∽△ACD………………………………………………2分(2)∵△ABE∽△ACD∴……………………………2分∵∠BAC=∠DAE∴△ABC∽△AED………………………1分∴……………………………………………………2分∴…………………………………………1分 6．解：（1）∵在直角三角形ABP中，AD=2,AB=3,DP=∴BP=………………………………………………………1分∵以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切∴BP=AB+PD………………………………………………………………1分∴…………………………………………………2分解得：……………………………………………………………1分∴PD的长为2时，以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切。（2）联结DE并延长交BC于点G，………………………………………………1分∵F为DC的中点，EF∥BC∴DE=EG∴CG=2EF∵AD∥BC∴∴DP=BG…………………………………………………………………………1分过D作DH⊥BC于点H，∵tanC=，DH=3∴CH=6∵AD=BH=2∴BC=8…………………………………………………………1分∵DP=，EF=,BC=BG+CG∴∴………………………………………2分（3）∵AD∥EF，DE=PF当DP=EF时，四边形DEFP为平行四边形∴=∴…………………………………………………………………2分当DPEF时，四边形DEFP为等腰梯形过E作EQ⊥AP于点Q，DQ=∵EQ∥AB，BE=PE∴AQ=∴DQ=∴=解得：…………………………………………2分∴PD的长为或4.7、(1)如图①，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系为_AE＝EF_______． (2)猜想：(1)中得到的结论没有发生变化．证法一：如图①，过点E作EH∥AB交AC于点H，则∠BAC＋∠1＝180°，∠BAC＝∠2．∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠3．∴∠2＝∠3．∴EH＝EC．∵AD∥BC，∴∠D＋∠DCB＝180°．∵∠BAC＝∠D，∴∠1＝∠DCB＝∠ECF．∵∠4＝∠5，∠AEF＝∠ACF，∴∠6＝∠7．∴△AEH≌△FEC．∴AE＝EF．证法二：如图②，过点E作EG∥AC交AB于点G，则∠BAC＋∠1＝180°．∵AD∥BC，∴∠D＋∠DCB＝180°，∠2＝∠3．∵∠BAC＝∠D，∴∠1＝∠DCB＝∠ECF，∠B＝∠4．∵∠AEF＝∠4，∴∠B＝∠AEF．∵∠B＋∠GAE＝∠AEF＋∠CEF，∴∠GAE＝∠CEF．∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵GE＜AC，∴四边形AGEC是等腰梯形．∴AG＝CE．∴△AEG≌△EFC．∴AE＝EF．(3)猜想：AE＝kEF．证法一：如图③，过点E作EH∥AB，交AC于点H，则△HEC∽△ABC．．同(2)可证∠AHE＝∠FCE，∠EAH＝∠CFE．∴△AEH∽△FEC．．即AE＝kEF．证法二：如图④，过点E作EG∥AC，交AB于点G，则△GBE∽△ABC．．．∴GB＝kBE，AB＝kBC． 同(2)可证∠GAE＝∠CEF，∠AGE＝∠ECF．