2020年初升高数学衔接专题07 方程与不等式（解析版）.doc

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1、初高中天衣无缝衔接教程（2020版）专题07方程与不等式本专题在初中、高中扮演的角色一元二次不等式的解法是初中阶段一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，也与后面的线性规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.一元二次不等式的解法在整个高中数学中具有很强的基础性和工具性.一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程三者之间有着密切联系，理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法即图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等

2、式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系.二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，要深入理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.一元二次不等式的解题步骤：①.将含x的式子用y来表示，构建一个一元二次函数；②.令这个函数中的y=0，构建一个一元二次方程，求出对应方程的解，即找到图中的关键点——函数的零点；③.利用图象开口与零点画出对应函数的草图；④观察草图，得出不等式所对应的解集.高中必备知识点1：二元二次方程组的解法方程是一个含有两个未知数,并且含有未知数

3、的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做这个方程的二次项,,叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．典型考题【典型例题】已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解.【答案】,

4、当时;当时【解析】把②代入①后计算得，∵方程组有两组相等的实数解，∴△＝（12m）2−4（2m2+1）•12＝0，解得：，当时，解得当时，解得 【变式训练】解方程组：【答案】【解析】，由①得（x+y）（x-2y）=0，∴x+y=0或x-2y=0，由②得（x+y）2=1，∴x+y=1或x+y=-1，所以原方程组化为，所以原方程组的解为． 【能力提升】解方程组：【答案】【解析】由②得：所以,.高中必备知识点2：一元二次不等式的解法为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对

5、于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．（1）（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(

6、x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x≠－；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方

7、程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．典型考题【典型例题】解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；【答案】(1).(2).【解析】(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)

8、(x＋2)≤0.解得－2≤x≤，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于⇔⇔⇔借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为. 【变式训练】求不等式的解．【答案】或【解析】由题意，不等式，可得或，由不等式组，可得解集为由不等式组，可得解集为或，所以不等式的解集为或. 【能力提升】解下列不等式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】（1）由题意，不等式，可化为，所以不不等式的解集为；（2）由题意，可得，所以不等式的解集为