2020年初升高数学衔接专题01 数与式的运算（解析版）.doc

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1、初高中天衣无缝衔接教程（2020版）专题01数与式的运算本专题在初中、高中扮演的角色初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是

2、式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂），掌握运算性质，能够区别与的异同.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点

3、的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；例1解方程

4、

5、=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程

6、

7、=2的解为．例2解不等式

8、－1

9、＞2．在数轴上找出

10、－1

11、=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程

12、－1

13、=2的解为=－1或=3，因此不等式

14、－1

15、＞2的解集为＜－1或

16、＞3．例3解方程

17、－1

18、+

19、+2

20、=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程

21、－1

22、+

23、+2

24、=5的解是=2或=－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程

25、+2

26、=3的解为　；（2）解不等式：

27、－2

28、＜6；（3）解不等式：

29、－3

30、+

31、+4

32、≥9；（4）解方程:

33、-2

34、+

35、+2

36、+

37、-5

38、=15.【答案】（1）或x=－5；（2）－4＜

39、x＜8；（3）x≥或x≤－5；（4）或.【解析】（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3解得或x=－5．（2）在数轴上找出

40、－2

41、=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8，∴方程

42、－2

43、=6的解为x=－4或x=8，∴不等式

44、－2

45、＜6的解集为－4＜x＜8．（3）在数轴上找出

46、－3

47、+

48、+4

49、=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x的值．∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或－4的左边．若对应的点在3的右边，可得x=4；若对应的点在－4

50、的左边，可得x=－5，∴方程

51、－3

52、+

53、+4

54、=9的解是x=或x=－5，∴不等式

55、－3

56、+

57、+4

58、≥9的解集为x≥或x≤－5．（4）在数轴上找出

59、-2

60、+

61、+2

62、+

63、-5

64、=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．若对应的点在5的右边，可得；若对应的点在－2的左边，可得，∴方程

65、-2

66、+

67、+2

68、+

69、-5

70、=15的解是或.【变式训练】实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简.【答案】a-2b【解析】解：

71、由数轴知：a＜0，b>0，

72、a

73、＞

74、b

75、，所以b-a>0，a-b＜0原式=

76、a

77、-（b-a）-(b-a)=-a-b+a-b+a=a-2b【能力提升】已知方程组的解的值的符号相同.(1)求的取值范围；(2)化简：.【答案】(1)−10，解得−1

78、到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三数和平方公式；（4）两数和立方