解析汇报几何测精彩试题及问题详解解析汇报(1).doc

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2013届高三数学章末综合测试题（15）平面解析几何（1）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是(　　)A．D＋E＝2B．D＋E＝1C．D＋E＝－1D．D＋E＝－2[来Xkb1.com　解析　D　依题意得，圆心在直线x＋y＝1上，因此有－－＝1，即D＋E＝－2.2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　　)A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2　B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8　D．(x－1)2＋(y－1)2＝8　解析　B　直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．已知F1、F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为(　　)A．(－2,0)B．(0,1)C．(2,0)D．(0,1)和(0，－1)　解析　D　由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|·|PF2|≤2＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．4．已知椭圆＋＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是(　　)A.B．3C.D.　解析　A　椭圆＋＝1的焦点分别为F1(0，－3)、F2(0,3)，易得∠F1PF2<，∴∠PF1F2＝或∠PF2F1＝，点P到y轴的距离d＝|xp|，又|yp|＝3，＋＝1，解得|xP|＝，故选A.5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) A．4x＋y＋4＝0B．x－4y－4＝0C．4x－y－12＝0D．4x－y－4＝0　解析　D　设切点为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，∴2x0＝4，即x0＝2，∴切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.6．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件　解析　C　方程可化为＋＝1，若焦点在y轴上，则>>0，即m>n>0.7．设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(　　)A.B．5C.D.　解析　D　双曲线的渐近线为y＝±x，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点即可由得x2－x＋1＝0.∴Δ＝－4＝0，即b2＝4a2，∴e＝.8．P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则·＝(　　)A．3B.C．2D．2　解析　D　∵S△PF1F2＝b2tan＝3×tan30°＝＝||·||·sin60°，∴||||＝4，∴·＝4×＝2.9．设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　) A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1　解析　B　抛物线的焦点为(2,0)，∴由题意得∴m＝4，n2＝12，∴方程为＋＝1.10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)A.B.C．2D．3　解析　B　设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c，0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，∴|AB|＝2×＝2×2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝.11．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为(　　)[来新课标第一网A.B．2C.D．2　解析　B　∵抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，∴b＝2，∴c＝＝，∴双曲线的焦距为2.12．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为(　　)A.B.C.D.　解析　A　由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M 到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，∴1＋＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，双曲线的左顶点为A(－，0)，∴kAM＝，而双曲线的渐近线方程为y＝±，根据题意得，＝，∴a＝.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈R)，则l1⊥l2的充要条件是a＝________.　解析　l1⊥l2⇔a·＝－1，解得a＝.【答案】　14．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝2，则实数k＝________.　解析　∵|AB|＝2，圆O半径为2，∴O到l的距离d＝＝.即＝，解得k＝±.【答案】　±15．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．　解析　如图，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝5，∴|OM|＝5，|OQ|＝＝2.在△OQM中，|QA|·|OM|＝|OQ|·|QM|，∴|AQ|＝＝2，∴|PQ|＝4.【答案】　416．在△ABC中，||＝4，△ABC的切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为________．　解析　以BC的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝2，∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝，c＝2，∴b＝，∴方程为－＝1(x>)．【答案】　－＝1(x>)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为2的圆C经过原点O.(1)求圆C的方程；(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程．　解析　(1)设圆心为(a，b)，则解得故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意；当斜率存在时，设直线为y－2＝kx，则由题意得，8＝4＋2，无解．综上，直线方程为x＝0.18．(12分)(2011·一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点.(1)求椭圆方程；(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．　解析　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由c＝，椭圆过点可得[新课标第一网解得所以可得椭圆方程为＋y2＝1. (2)由题意可设直线MN的方程为：x＝ky－，联立直线MN和椭圆的方程：化简得(k2＋4)y2－ky－＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝－，y1＋y2＝，又A(－2,0)，则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0，所以∠MAN＝.19．(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，＝e(e为椭圆离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．　解析　(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知，得解得∴椭圆方程为＋＝1.(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]，由已知得＝e2，而e＝，故16(x2＋y)＝9(x2＋y2)，①由点P在椭圆C上，得y＝，代入①式并化简，得9y2＝112.∴点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)，∴轨迹是两条平行于x轴的线段．20．(12分)给定抛物线y2＝2x，设A(a,0)，a>0，P是抛物线上的一点，且|PA|＝d，试求d的最小值．　解析　设P(x0，y0)(x0≥0)，则y＝2x0， ∴d＝|PA|＝＝＝.∵a>0，x0≥0，∴(1)当00，此时有x0＝0时，dmin＝＝a；[新课标第一网(2)当a≥1时，1－a≤0，此时有x0＝a－1时，dmin＝.21．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求△F1MF2的面积．　解析　(1)∵双曲线离心率e＝，∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，xkb1.comK]则由点(4，－)在双曲线上，知λ＝42－(－)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(2，0)，F2(－2，0)，∴·＝(2－3，－m)·(－2－3，－m)＝m2－3＝0，∴⊥，故点M在以F1F2为直径的圆上．(3)S△F1MF2＝|F1F2|·|m|＝2×＝6.22．(12分)已知实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)当m＝时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x＝2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率．　解析　(1)设S(x，y)，则kSA＝，kSB＝. 由题意，得＝－，即＋y2＝1(x≠±m)．∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.(2)当m＝时，曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．由消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.∵t>0，∴t＝3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．(3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，设点P(a,2a＋3)(a<2)，d1表示P到点(1,0)的距离，d2表示P到直线x＝2的距离，则d1＝＝，d2＝2－a，∴＝＝.令f(a)＝，则f′(a)＝＝.令f′(a)＝0，得a＝－.∵当a<－时，f′(a)<0；当－0.∴f(a)在a＝－时取得最小值，即取得最小值，∴min＝＝，又椭圆的离心率为， ∴的最小值等于椭圆的离心率．