数列极限是整个数学分析最重要的基础.ppt

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1、数列极限是整个数学分析最重要的基础§1数列极限的概念一、数列的定义五、再论“-N”说法四、按定义验证极限三、收敛数列的定义备知识.为今后学习级数理论提供了极为丰富的准之一,它不仅与函数极限密切相关，而且返回二、一个经典的例子六、一些例子为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来,则称若函数f的定义域为全体正整数的集合或简记为{an}.这里an所以我们也将数列写成称为数列{an}的通项.一、数列的定义二、一个经典的例子样的过程可以无限制地进行下去.我们把每天截下部分(或剩下部分)的长度列出：第一天截下第二天截下第n天截

2、下这样就得到一个数列:古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用了一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.它的意思是:一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这容易看出:数列随着n的无限增大而无限趋于0.三、收敛数列的定义下面给出严格的数学定义.定义1为一个数列,a为一个常数,若对于任意的正数,总存在正整数N,使当n>N时,则称数列收敛于a,又称a为数列的极限,一般地说,对于数列,若当n充分变大时,an能无限地接近某个常数a,则称收敛于a.记作若不收敛,则称为发散数列.注定义1这种陈述方式，俗称为“-N”说法.四、按定义验证极

3、限以说明,希望大家对“-N”说法能有正确的认识.例1用定义验证:分析对于任意正数要使只要证对于任意的正数,所以为了加深对数列收敛定义的了解,下面结合例题加例2用定义验证分析对于任意的正数,要使只要这就证明了证只要即可.例3用定义验证分析故要使成立,证对于任意的正数,取即得注意解这个不等式是在的条件下进行的.所以例4用定义验证因此证得证这里只验证的情形（时自证）.故对于任意正数五、再论“-N”说法从定义及上面的例题我们可以看出:此外，又因是任意正数,所以1.的任意性:定义中的用来刻画数列{an}的通项与定数a

4、的接近程度.显然正数愈小,表示an与a接近的程度愈高；是任意的,这就表示an与a可以任意接近.要注意，一旦给出，在接下来计算N的过程中，它暂时看作是确定不变的.可以用(K为某一正常数)来代替.定义1,那么对1自然也可以验证成立.均可看作任意正数,故定义1中的不等式2.N的相对性:从定义1中又可看出,随着的取值不同,N当然也会不同.但这并不意味着N是由再有,我们还可以限定小于某一个正数(比如<1).事实上,对0<<1若能验证{an}满足则当n>N1=2N时,对于同样的,更应有惟一确定.例如,当n>N时,

5、有求N的“最佳性”.也就是说,在这里只是强调N的存在性,而不追3.极限的几何意义示当n>N时,从几何上看,,实际上就是时有所有下标大于N的an全都落在邻域之内，而在之外,{an}至多只有有限项(N项).反过来,如果对于任意正数,落在之外至多只有有限项,设这些项的最大下标为N,这就表{an}的有限多项,则称数列{an}收敛于a.这样,{an}不以a为极限的定义也可陈述为:存在之外含有{an}中的无限多不以任何实数a为极限.以上是定义1的等价说法,写成定义就是:定义1'任给,若在之外至多只有项.注{an}无极限（即发散）的等

6、价定义为:{an}以下定理显然成立,请读者自证.4.无穷小数列和无穷大数列六、一些例子为了更好地理解定义,再举一些例题.例5证明发散.又因a是任意的,所以发散.a为极限.证对于任意实数a,取之外有无限多所以由定义1',不以个偶数项（奇数项）.例6证明解当时，从而证我们用两种方法来证明.例7证明1)任给正数有项都能使不等式成立即可.注这里我们将N取为正数,而非正整数.实际上N只是表示某个时刻,保证从这一时刻以后的所没有定义.2)任给正数,限制由可知只需取注这里假定0<<1是必要的,否则arcsin便复习思考题1.极限定义

7、中的“”是否可以写成“”?为什么?2.反之是否成立?3.已知是一个一一影射.请依据极限定义证明: