2020版数学《课堂讲义》北师大版选修4-4讲义：第二讲 参数方程 4 平摆线和渐开线 .pdf

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1、§4平摆线和渐开线1.平摆线定义一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线).当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M到达最高点(πr，2r)，再滚动半周，点M到达(2πr，0)，这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚动一周时，平摆线出现一个周期.平摆线上点的纵坐标最大值是2r，最小值是0，即平摆线的拱高为2r.2.平摆线轨迹的参数方程x＝r（α－sinα），(－∞＜α＜＋∞，α为参数)y＝r（1－cosα）3.渐开线定义把一条没有弹性的细绳绕在一个固

2、定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线，这条曲线叫圆的渐开线，这个圆叫作渐开线的基圆.4.圆的渐开线的参数方程x＝r（cosφ＋φsinφ），(其中φ为参数).y＝r（sinφ－φcosφ）【思维导图】【知能要点】1.平摆线，平摆线的参数方程.2.圆的渐开线，渐开线的参数方程.题型一平摆线在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解“一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假设圆周上定点M的起始位置是圆与定直线的切点O，圆保持与定直线相

3、切向右滚动，点M就绕圆心B作圆周运动.如果点︵M绕圆心B转过φ弧度后，圆与直线相切于A，那么线段OA的长等于AM的弧长，即OA＝rφ；点M绕圆心B运动一周回到切点的位置E，那么OE的长恰等于圆周长.这就是所谓“无滑动地滚动”的意思.从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过程中，圆周上定点M的位置可以有圆心角φ惟一确定，因此以φ为参数是非常自然的.摆线的参数方程也不能化为普通方程.【例1】已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程.解根据圆的摆线的参数方程的表达式x＝r（φ－sinφ），(φ为参数)可

4、知，只需求出其中的r，也就是说，摆线的参y＝r（1－cosφ）数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式.令r(1－cosφ)＝0可得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)代入可得x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1.1所以r＝.又根据实际情况可知r是圆的半径，2kπ故r>0.所以，应有k>0且k∈Z，即k∈N.＋1x＝（φ－sinφ），2kπ所以，所求摆线的参数方程是(φ为参数)(其中k∈N).1＋y＝（1－cosφ）2kπ【反思感悟】本题易错点是误把点(1，0)中

5、的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x和y的值，再计算r的值；或者在求出cosφ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面.1.圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O，圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角.试求点M的轨迹方程.π解x＝r·θ－r·cos（φ＋θ）－M2＝r[θ－sin(φ＋θ)]，πy＝r＋r·sinφ＋θ－M2＝r[1－cos(φ＋θ)].题型二圆的渐开线渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上动点所满足的几何条件，︵建立渐开线参数方程的关键是将“切线BM的长就是AB

6、的长”用坐标表示出来.渐开线的参数方程不能化为普通方程.【例2】求半径为4的圆的渐开线的参数方程.→解以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M，向量OM的方向为x轴正方向，00建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故︵→OA⊥AM，按渐开线定义，弧AM的长和线段AM的长相等，记OA和x轴正向所0︵夹的角为θ(以弧度为单位)，则

7、AM

8、＝AM＝4θ.0作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角和向量知识，得→OA＝(4cosθ，4sinθ).由几何知识知∠MAB＝θ，→→→→AM＝(4θsinθ，－4

9、θcosθ)，得OM＝OA＋AM＝(4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ)＝(4(cosθ＋θsinθ)，4(sinθ－θcosθ)).→x＝4（cosθ＋θsinθ），又OM＝(x，y)，因此有y＝4（sinθ－θcosθ）这就是所求圆的渐开线的参数方程.【反思感悟】关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系.用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y).(2)取定运动中产生的某一角度为参数.(3)用三角、几何知识写出

10、相关向量的坐标表达式.→(4)用向量运算得到OM的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.2.写出半径为2的基圆的渐开线参数方程.x＝2（cosφ＋φsinφ），解直接利用圆的渐开线的参数方程公式，方程为：(φy＝2（sinφ－φcosφ）是参数).【例3】已知圆的直径