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1、对公平的竞赛评卷系统的讨论摘要本文讨论了数学建模考试答卷评阅的公正性问题。1.答卷编码的加密与解密。本题采用矩阵转置的数学方法,以及计算机中数字的进制转化,对答卷编码进行矩阵转置、各元素的进制转化等一系列加密,进而得到密文。解密过程与加密过程相反。2.答卷的分配问题。在求解过程中时将此问题分为两大步骤,第一是将评委分配给各个题组,第二是针对相应题组的评委对答卷的分配。进行评委分配时,我们根据最小方差法利用了Lingo程序确定出A、B、C、D题分别需要分配8、9、4、4名评委,但这组数据不能完全满足题意,故结合问题实际对数据微调,得到A、B、C、D题分别需
2、要分配8、8、5、4名评委,再分别针对4个题组,以题组内所有老师对某学校的工作量之和等于学校在该题组中应评阅的次数为约束条件,以某题组每名教师工作量与总工作量的方差、该题组中所有评委评阅过的学校数总和及其与某评委评阅学校数的方差为目标函数,建立多目标非线性数学模型,对目标函数加权,转化为单目标非线性数学模型。3.答卷的一致性问题。运用肯德尔和谐系数建立数学模型,计算出评分一致性的肯德尔和谐系数,通过肯德尔和谐系数的大小判断一致性。4.最终的分数调整计算公式。不公平和尺度差由多方面构成,所以对不公平数据的调整从处理评委的公平性和尺度偏差两方面着手。通过调和
3、平均以及加权求出它们各自的调整公式,然后二者结合求出最终调整公式。5.对评卷中采用百分制还是等级制的讨论,通过运用计算调和平均数和对比标准偏差大小的方法,得出应用百分制较等级制更好的结论。模型还可推广到教育体系的其他考试的试卷加密以及评阅工作中。例如,全国英语等级考试,全国计算机等级考试等。关键字肯德尔和谐系数;最小方差法;置信区间;调和平均数一、问题重述数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与,越来越多的人关心竞赛评卷的公平性。现今大多数的评卷工作是这样进行的:先将答卷编成密号,评委由各参赛学校(20-50所派出,按不同的题目分成几个题组
4、,每个题组由M个评委组成,评阅N份答卷,每份答卷经L个评委评阅,评委对每份答卷给出等级分(A+,A,A-,B+,B,B-,C+,C,C-,D,如果L个评委给出的分数基本一致,就给出这份答卷的平均分,否则需讨论以达成一致(其中M=5-10,N=60-200,L=3-5。现在需要你解决如下问题:1.有A,B,C,D四个题目,P(P≥M所学校参赛,给出一种答卷编号加密和解密的数学公式方法(其中题号为明号;要求方法简单易算、可随意变换且保密性能好;对你的方法给出分析。2.每个题组的M个评委来自不同学校,给出一种评阅答卷分配的数学公式方法,要求回避本校答卷,并且每
5、个评委评阅的答卷尽可能广泛,并满足某些特殊的要求。3.给出评分一致性或公正性的检验方法,该方法要求对每个评委的公平性给出评价(某评委分数普遍给的偏高或低属于尺度偏差,不应算作不公平,可在下面的问题中调整。4.给出最终的分数调整计算公式。该公式要处理那些可能出现的“不公平”,及尺度偏差。对可能出现的“不公平”构造例子,说明你的方法。5.对评卷中的其他问题(如采用百分制还是等级分,一份答卷由几个评委评阅可以满足既经济又公平,等等提出你的看法和根据。6.假定有35所学校298个参赛队参赛,数据如附表。其中:数字前两位代表学校,甲组选做A,B题;乙组选做C,D题
6、;25名评委所属的学校编号为:1-17,20,21,22,24,26,28,29,30。每份试卷经四位评委评阅,编号为15,22的只容许评C,D题,编号为26的只容许评A,B题,编号为1,4,6,12,16的评委要求评A题,编号为2,5,7,10的评委要求评B题;编号为24的评委要求评C题,编号为29的评委要求评D题。其余按所在学校的甲、乙组别及个人的要求安排。要求对问题1,2给出具体的算法及结果。对问题3,4,5给出模拟数据再进行分析和运算。二、问题分析问题一需要给出一种答卷编号加密和解密的数学公式方法(其中题号为明号;要求方法简单易算、可随意变换且保
7、密性能好。由于参加该次数学建模大赛的团队多,数据庞大,故将要采用把原始数据转化为矩阵的形式,对矩阵进行各种变换,而后计划再将结合计算机中的进位转换方式,将矩阵中各元素转换成十六进制,即将得到密文。解码的过程与加密相反,即将先进行仅为转换,再进行矩阵转置,即可得到明文。针对问题二给出一种评阅答卷分配的数学公式方法,要求回避本校答卷,并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛,并满足某些特殊的要求。将采用先利用最小方差法以总评委人数为约束条件,以评委阅卷最小方差为目标函数,求出每组分配的评委人数,而后建立以评委不能评阅本校答卷,以及评委工作量相当为约束条件的数学模型,
8、利用Matlab软件求解,最终将得到广泛度较大的评委评阅安排表。问题三在不考虑某
