第六讲：排列、组合、二项式定理.doc

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1、一、知识回顾(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：①直接法;②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，

2、可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整

3、体后局部的策略；⑩构造模型的策略.9、二项式定理:⑴对于，,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的展开式.注:展开式具有以下特点：项数：共有项；系数：依次为组合数且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开.⑵二项展开式的通项：的展开式第r+1为.⑶二项式系数的性质.①二项展开式中的叫做二项式系数②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；即③二项展开式的中间项二项式系数最大且当时，二项系数是逐渐增大，当时，二项式系数是逐渐减小的．(Ⅰ)当n是偶数时,中间项是第项

4、,它的二项式系数最大;(Ⅱ)当n是奇数时,中间项为两项,即第项和第项,它们的二项式系数最大.④系数和：所有二项式系数的和：;奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和:.⑤⑸二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。二、基础训练：1、3个班分别从5个景点中选择1处游览，不同的选法种数是(A)(A)5(B)3(C)A(D)C2、6个人排成一排，甲、乙、丙必须站在一起的排列种数为(D).(A)(B)(C)(D)3、设(1+x)+(1+x)+…+(1+x)=a+ax+ax

5、+…+ax则a=(B)(A)C(B)C(C)2C(D)C4、在的展开式中，的系数是(D)(A)-297(B)-252(C)297(D)2075、对于小于55的自然数，积(55-n)(56-n)……(68-n)(69-n)等于(B)(A)A(B)A(C)A(D)A6、若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a8x8+a9x9，则a1+a2+…+a8的值为___510____.7．A、B两地在同一纬线上，这两地间的纬线长为pRcosa，（R是地球半径，a是两地的纬度数），则这两地间的球面距离为（C）A．pRB．pRcos

6、aC．pR-2aRD．pR-aR三、典型例题：例1、五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲必须在排头，并且乙在排尾；（3）甲、乙必须在两端；（4）甲不在排头，并且乙不在排尾；（5）甲、乙不在两端；（6）甲在乙前；（7）甲在乙前，并且乙在丙前；（8）甲、乙相邻；（9）甲、乙相邻，但是与丙不相邻；（10）甲、乙、丙不全相邻解析：（1）特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”有种，再排其它4个位置有种，所以共有：×=24种（2）甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数：××=6种（3）首先排两

7、端有种，再排中间有种，所以甲、乙必须在两端排法种数为：×=12种（4）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：－2+=78种（5）因为两端位置符合条件的排法有种，中间位置符合条件的排法有种，所以甲、乙不在两端排法种数为×=36种（6）因为甲、乙共有2！种顺序，所以甲在乙前排法种数为：÷2！=60种（7）因为甲、乙、丙共有3！种顺序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：÷3！=20种（8）把甲、乙看成一个人来排有种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为×=48种（9）首先排甲、乙、丙外的两个有，从而产生3个空，把

8、甲、乙看成一个人与丙插入这3个空中的两个有，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排法种数为××=24种（10）因为甲、乙、丙相邻有×，所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为－×=84种变式1、某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法