2021_2022学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何4.2用向量方法讨论立体几何中的位置关系学案北师大版选择性必修第一册.doc

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1、考试4.2　用向量方法讨论立体几何中的位置关系　必备知识·自主学习导思1.怎样用向量判断线线平行、垂直？2．怎样用向量判断线面平行、垂直？3．怎样用向量判断面面平行、垂直？1.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2.(2)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性

2、质，得α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β.若a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4，2－2m，2－2m)分别为直线l1，l2的方向向量，则实数m取哪些值时有l1∥l2？提示：要使l1∥l2，需a∥b，即＝，从而m＝3.另外当m＝1时，显然也适合题意符合条件，所以当m＝1或3时有l1∥l2.2．空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.-20-/20考试线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，

3、b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面有怎样的位置关系？提示：这两个平面是垂直关系．直线l的方向向量与平面β的法向量共线，说明直线l垂直于平面β，又直线l在平面α内，所以平面α和平面β垂直．3．三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和

4、这条斜线垂直．(2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(　　)(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直．(　　)(3)两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(　　)(4)若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直．(　　)提示：(1)√.直线的方向向量与平面的法向量共线(方向相同或相反)时，直线与平面垂直．(2)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直

5、，直线与平面平行或者在平面内．(3)√.两个平面的法向量垂直，这两个平面就垂直．(4)×.当平面内两条直线的方向向量共线时，直线不一定和平面垂直．2．(教材练习改编)若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)-20-/20考试A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交【解析】选B.因为n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，所以n∥a，所以l⊥α.3．若直线l1的方向向量为u1＝(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，B(2，－1，2)，则两直线的位置关系是______．【解析】＝(1，－1，1)，u1·

6、＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l1⊥l2.答案：l1⊥l24．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1，0，1)，u2＝(0，2，0)，则平面α，β的位置关系为________.【解析】u1·u2＝0，则α⊥β.答案：α⊥β关键能力·合作学习类型一　向量法证线线平行、垂直(数学运算、逻辑推理)1．已知直线l1的一个方向向量为(－7，3，4)，直线l2的一个方向向量为(x，y，8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.2．设l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　)A．B．1C．2D．3

7、3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则CE垂直于(　　)A．ACB．BDC．A1DD．AA14．如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．-20-/20考试求证：EF⊥CD.【解析】1.因为l1∥l2，所以＝＝(x≠0，y≠0)，所以x＝－14，y＝6.答案：－14　62．选C.由题意可得a⊥b，所以a·b＝0，所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，所以m＝2.3．选B.建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设正