含时滞的反应扩散方程的全局吸引子论文

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含时滞的反应扩散方程的全局吸引子基础数学研究生王小虎指导教师李树勇论文摘要：本文研究含时滞的反应扩散方程全局吸引子存在性的问题．在第一章中首先介绍了全局吸引子和吸收集的概念，然后给出了全局吸引子的存在性定理；第二章证明了生态学中一类含时滞的反应扩散方程全局吸引子的存在性，然后用数学归纳法以及对该模型的细致分析又给出了全局吸引子的正则性估计；第三章中，通过构造一个合适的Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函，证明含时滞的Ｆｉｔｚ—Ｈｕｇｈ—Ｎａｇｕｍｏ系统在一定的条件下拥有一个全局吸引子．最后在第四章中，利用矩阵分析和算子分解的技巧，给出了含时滞的部分耗散反应扩散方程全局吸引子存在的一个充分条件．关键词：反应扩散方程；时滞；部分耗散；算子半群；吸收集；全局吸弓子；正则性；第ｉ页，共：ｊ？页 ＧｌｏｂａｌａｔｔｒａｃｔｏｒｆｏｒｒｅａｃｔｉｏｎｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｅｌａｙｓＭａｊｏｒ：ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎａｌＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＰｏｓｔｇｒａｄｕａｔｅ：ＷａｎｇＸｉａｏｈｕＳｕｐｅｒｖｉｓｏｒ：ＬｉＳｈｕｙｏｎｇＡｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｔｈｅｓｉｓｉｓｃｏｎｃｅｒｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｇｌｏｂａｌａｔｔｒａｃｔｏｒｆｏｒｒｅａｃｔｉｏｎｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｄｅｌａｙｓＩｎＣｈａｐｔｅｒｏｎｅ，ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｃｏｎｃｅｐｔｏｆｇｌｏｂａｌａｔｔｒａｃｔｏｒａｎｄａｂｓｏｒｂｉｎｇｓｅｔｓａｒｅｇｉｖｅｎ，ａｎｄｔｈｅｎ，ａｇｅｎｅｒａｌｒｅｓｕｌｔｗｈｉｃｈｅｎｓｕｒｅｓｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｇｌｏｂａｌａｔｔｒａｃｔｏｒｉｓｐｒｏｖｅｎ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒＬｗｏ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｇｌｏｂａｌａｔｔｒａｃｔｏｒｆｏｒａｒｅａｃｔｉｏｎｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｅｌａｙｓｉｎｅｃｏｌｏｇｙｉｓｐｒｏｖｅｎ，ｔｈｅｎｕｓｉｎｇｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｄｕｃｔｉｏｎａｎｄｄｅｌｉｃａｔｅａｎａｌｙｓｉｓｆｏｒｔｈｉｓｍｏｄｅｌ，ｔｈｅｒｅｇｕｌａｒｉｔｙｏｆｔｈｅｇｌｏｂａｌａｔｔｒａｃｔｏｒｉｓｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ．Ｉｎ３ｈａｐｔｅｒｔｈｒｅｅ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｇｌｏｂａｌａｔｔｒａｃｔｏｒｆｏｒＦｉｔｚ－Ｈｕｇｈ—ＮａｇｕｍｏｓｙｓｔｅｍｓⅣｉｔｈｄｅｌａｙｓｉｓｐｒｏｖｅｎ，ｂｙｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇａＬｙａｐｕｎｏｖｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒｆｏｕｒ，｝ｈｅｓｕｍｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｇｌｏｂａｌａｔｔｒａｃｔｏｒｆｏｒｐａｒｔｌｙｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅｒｅａｃｔｉｏｎｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｅｌａｙｓｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｍａｔｒｉｘａｎａｌｙｓｉｓａｎｄ＠ｉｔｔｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｒｅａｃｔｉｏｎｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｄｅｌａｙ；Ｐａｒｔｌｙｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅ；Ｓｅｍｉ－ｇｒｏｕｐＡｂｓｏｒｂｉｎｇｓｅｔ；Ｇｌｏｂａｌａｔｔｒａｃｔｏｒ；Ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ 四川师范大学学位论文独创性及使用授权声明本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承诺：己提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定：学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有学位论文的部分使用权，即：１）已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索：２）为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 引言１８９０年Ｈ．Ｐｏｉｎｃａｒ６［１］所作的“关于论述太阳系稳定性研究”的长达２７０页的论文，开创了动力系统（ＤｙｎａｍｉｃａｌＳｙｓｔｅｍ）定性理论研究，奠定了动力系统理论基础．从此动力系统理论吸引了全世界数学家、物理学家的广泛关注．它常可以看作微分方程的化身．粗略的说，常微分方程及其差分方程可以分别看作是有限维连续和离散动力系统，泛函微分方程、偏泛函微分方程、偏微分方程及其泛函差分方程可分别看作是无限维连续和离散动力系统，而拓扑和几何中微分流形上的方程也可看作是微分流形上的动力系统．研究自然界中的物理现象，动力系统理论作为一种研究方法起着非常重要的作用．有限维动力系统的研究至少已有五十多年的历史．至今，已经取得了许多重要的结果，如稳定性理论、吸引子［２－４］等．但是，动力系统问题远远不限于有限维的情况，无限维动力系统具有更加广阔的研究背景，近年来，物理上已发现一大批具有孤立子的非线性发展方程．例如，ＫＤＶ方程、非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程、Ｚａｋｈａｒｏｖ方程等，在一定的耗散作用下从孤立子演化为混沌现象．此外。某些耗散的反应扩散方程、Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程都具有类似现象．这些都说明对无穷维动力系统的研究势在必行．这也是有限维动力系统的深入和发展．与有限维动力系统不同，无穷维动力系统具有某些新的重要特征：首先是存在空间上的混沌现象，即在空间某个区域上存在产生混沌、湍流现象，而在另一个区域则不出现．流体力学中的绕流就是一个典型的例子．其次，在空间的某个部分可能产生奇性集．如三维空间上的流体运动，速度的旋度可能在某个部分区域变为无穷大．因此，对无穷维动力系统的研究，将为湍流的研究开辟一条新的道路，这也是当今许多物理、力学研究工作者热衷于此的原因［５，６】．然而，由于无穷维动力系统相空间的无穷维特性，使得无穷维动力系统研究更加困难．至今对它的了解也很粗浅．不过可喜的事，由于Ｂ．Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ，Ｒ．Ｔｅｍａｍ，Ｊ．Ｋ．Ｈａｌｅ等大师的工作，在无穷维动力系统的吸引子的存在性，它们的Ｈａｕｓｄｒｏ雠数、Ｆｒａｃｔａｌ维数的上下界估计，惯性流形的存在性及其光滑性．正规双曲性，近似惯性流形的存在性及其数值逼近、收敛性．吸引子的动态第１页，共３７页 引言结构、惯性集等问题上取得了一系列重要的成果［７－１０１．特别值得一提的是，Ｒ．Ｔｅｍａｍ［６１等在上世纪八十年代建立的无穷维动力系统的吸引子和惯性流形的理论，己得到普遍的认同．其主要思想是对具耗散结构的偏微分方程研究其有限维全局吸引子的存在性．然后进一步讨论吸引子的结构、吸引子的局部化和流形逼近，以及是否存在有限维具有指数吸引性的Ｌ流形——惯性流形等等．其目的是把无穷维动力系统问题约化为有限维惯性流形上的常微分方程，然后利用已有的有限维动力系统理论及数值计算方法来研究其动力学行为．运用这一理论，无穷维动力系统的研究取得了许多重要的成果【５，６１．近年来，起源于生物、化学、物理学等学科的偏泛函微分方程的研究有了长足的发展．偏泛函微分方程无论在理论上还是在应用上都富有发展前景．自从上世纪８０年代以来，众多学者利用半群理论、线性、非线性泛函分析理论，借助于常微分方程、偏微分方程、泛函微分方程的方法研究偏泛函微分方程，在以下九个方面取得了重大进展【１１一１８】：１．线性系统的生成元和状态空间的分解；２．非齐系统和线性化稳定性；３．非线性系统的不变流形；４．Ｈｏｐｆ分支；５．小扩散性与大扩散性：６．不变性，比较方法，上、下解；７．收敛性，单调性和收缩矩阵；８．指数增长和不变性原理；９．行波解．然而，在众多的文献中涉及偏泛函微分方程吸引子的却很少．咎其原因，主要是，一方面由于时滞的引入，使得对于偏泛函微分方程吸引子的研究变得更加复杂，另一方面研究偏泛函微分方程吸引子的方法不成熟．然而，与偏微分方程一样，偏泛函微分方程解的长时间性态是由吸引子所决定的，因此，对于偏泛函微分方程吸引子的研究就显得更加重要．近年来，一些学者致力于这方面的研究，取得了不少可喜的成果．第２页．共３７页 引言对于时滞强阻尼波动方程组其中：ｚ∈Ｑ，ｔ＞０，ｉ＝１，…，ｍ，在如下的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件下及初值条件ｕｉ（ｘ，￡）Ｉ。∈鼬＝０，ｔ≥一ｒ，｛景％（漓ｇ）＝田高，ｔ卟删．（０－２）ｃ…ｏ。…，文［１９］将扇形算子以及解析半群理论运用于时滞偏微分方程中，通过构造相空阔的等价范数并利用不等式性质证明了该方程组的解仍然具有耗散性，然后通过讨论解的范数所构成的常微分不等式组，得到系统吸引子存在的一个充分条件．Ｔｏｍ缸Ｃａｒａｂａｌｌｏ，ＪｏｓｄＡ．Ｌａｎｇａ和ＪａｍｅｓＣ．Ｒｏｂｉｎｓｏｎ运用随机动力系统中的负向吸引子（Ｐｕｌｌｂａｃｋａｔｔｒａｃｔｏｒｓ）理论研究了非自治时滞微分方程【２０】杀ｚ（ｔ）＝Ｆ（ｔ，ｚ（ｔ），￡０一ｐ（ｔ））＇％＝咖，（０．４）负向吸引子的存在性．Ｔｏｍ矗ｓＣａｒａｂａＵｏ还证明了含时滞的２ＤＮａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程【２１】Ｉ警一ｖＡｕ＋ａｕ＋∑％碧＝，（ｔ）一Ｖｐ＋ｇ（ｔ，饥）ｄｉｖｕ＝０１仳：０ｏｎ（Ｔ，佃）ｘａＱ，ｉｎ（ｆ，＋。ｏ）×ｎ，（晰）Ｉ“（７＿，ｚ）＝ｔ幻（ｚ）ｚ∈Ｑ，Ｉｕ（ｔ，ｚ）＝≯Ｏ一７．，ｚ），ｔ∈（下一ｈ，７．）负向吸引子的存在性．特别的对于自治的时滞２ＤＮａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程其全局吸引子也是同样的存在．韩天勇【２２】研究了含分布时滞的２Ｄ－Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程在非齐次条件下的全局吸引子存在性问题．利用Ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ流函数将系统齐次化，证明了解半群的渐近紧性．现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学、化学和生物学的成就和进展，而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证．学科的精确化往往是通过建立数学模型来实现的，而大量的数学模型可归纳为所谓的反应扩散方程． 第３页，共∞页掣＝啦△掣恤以，卅础）州啡吖巩堂裂）ＣＯ－１）【囊￡，篓（ｔ，ｚ），∈【＿ｒ，ｏ】．ｌｉｎ（ｖ，＋ｏｏ）ＸＱ， 引言近二十年来，反应扩散方程的研究日益得到重视．这是因为反应扩散方程涉及的大量闯题来自物理、化学和生物学中众多的数学模型，因丽有强烈的实际背景；另一方面，在反应扩散方程的研究中，对数学也提出了许多挑战性的问题，因此正引起愈来愈多的数学家、物理学家、化学家、生物学家和工程师的注意［２３１．通常在数学上把以下半线性抛物型方程组掣≯＝Ｄ（ｚ，ｕ）ＺＸｕ＋．ｆ（ｚ，“，ｇｒａｃｔｕ）（（２／，ｔ）∈Ｑ×Ｒ＋）（０－６）称为反应扩散方程组，其中Ｑｃ舻，仃，ｍ≥１，ｚ＝（ｚｌ，…，ｚ。），让＝（Ｕｌ，…，‰），ｇｒａｄｕ＝（ｇｒａｄｕｌ，…，ｇｒａｄｕｍ），ｇｒａｄｕｌ＝（等，…，筹）（ｉ＝１，２，…，ｍ），Ｄ（ｚ，“）＝（奶（ｚ，Ⅱ））（ｉ，歹＝１，２，…，ｍ）．根据不同的问题可以研究初值问题，即Ｑ＝舻，满足初始条件珏（戤０）＝ｕｏ（ｘ∈ⅡＰ）（ｏ－７）也可以研究各种边值问题，即ＱｃＲ“有界，ａＱ表示Ｑ的边界，满足条件ｕ＝ｇ（。，ｔ），（￥，ｔ）∈Ｑ×Ｒ＋（Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ条件），（ｏ－８）或嘉＝ｇ（印），（印）∈Ｑ×Ｒ＋（Ｎｅｕｍａｎｎ条件），（ｏ－９）或蒙＋ｋｔ‘＝ｇ（叫），（训）∈Ｑｘ豫＋（Ｒｏｂｉｎ条件）．（ｏ－ｔｏ）其中，ｐ６）中的Ｄ和，也可以依赖于ｔ，Ｄ（ｘ，ｕ）Ａｕ也可以替换为非线性抛物算子，边界条件也可以是非线性的，，也可以是一个泛函，等等．反应扩散方程研究中的基本问题是：（１）行波解的存在唯一性及稳定性；（２）初值问题、初边值问题的整体解（包括周期解、概周期解）的存在唯一性及渐近性：（３）平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以及平衡解的稳定性问题：（４）当解没有整体解时解在有限时间内的爆炸（ｂｌｏｗｕｐ）问题，以及解的其它性质，如熄灭区（ｄｅａｄｒｅｇｉｏｎ）问题．第４页＇共０７页 引言（５）计算方法问题：解决（１）．（４）中各种问题的计算问题有一些困难，需要发展一些新的行之有效的计算方法．然而在反应扩散方程研究中除去上述五类基本问题外，近年来发展最快的，受人们关注最广泛的研究课题是反应扩散方程吸引子的研究．反应扩散方程的吸引子的结构是非常复杂的，除了包括方程简单的平衡点外，还包括时间周期的轨道，拟周期解的轨道，以及分形、奇异吸引子等，它可能不是光滑流形，且具有非整数维数【５】．对于具有耗散性的无穷维动力系统，研究解的长时间性态是数学物理中的一个重要问题．通常解的长时阔性态由具有有限维特性的全局吸引子所表现［６１．因此，全局吸引子的存在性极其重要．通常，吸引子的存在性依赖于某些紧性条件．对于有界区域上的发展方程，可以通过先验估计和Ｓｏｂｏｌｅｖ紧嵌入得到所需的紧性条件．由于在无界区域上Ｓｏｂｏｌｅｖ嵌入不再是紧的了，所以在此情况下想得到紧性结果是非常困难的．为了解决这一问题，主要采取以下两种方法：一是引入加权Ｓｏｂｏｌｅｖ空间；二是证明系统所对应的算子半群是渐近紧的．应用这些理论，反应扩散方程吸引子的研究取得了重大的进展【２４－２８】．近年来，一些学者致力于对含时滞反应扩散方程吸引子的研究，取得了不少可喜的成果．徐道义【２９１利用矩阵分析和不等式技巧，研究了如下的一类时滞反应扩散方程的吸引子．１鸨产＝ＡＡｕ（ｔ，ｚ）一Ｂｕ（ｔ，ｚ）＋，（饥，ｕ）｛Ⅱ（ｔ，ｚ）＝０，ｖｔ≥ｔｏ，ｚ∈ａＱ（０－１１）Ｉｕ（ｔｏ＋ｓ，卫）＝妒（ｓ，ｚ），一ｒ≤ｓ≤０，ｚ∈Ｑ而后文［３０１利用矩阵的Ｈａｄａｍａｒｄ积的性质以及不等式的技巧，将文【２９】的结果推广到含时滞的拟线性反应扩散方程．麓黧一第５页，共３７页，ｚ）＋五∽（ｚ））０，￡∈Ｑ，ｒ≥０（０－１２） 引言黄建华研究如下时滞反应扩散方程［３ｌ】，ｌ玺＝ｄＡｕ一＂Ｔｕ＋∑幻考＋，（啦（ｚ）），ｚ∈ｃ形，ｔ＞０，１爱＝０，ｚ∈弧￡＞０，（０－１３）Ｉｕ（ｘ，ｓ）＝妒（ｚ，ｓ），一ｒ≤５≤０，讨论当非线性项是连续而不是全局Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续时，时滞反应扩散方程在分数幂空间ｃ么＝ｃ（【＿ｒ，ｏ】，）乇）的整体吸引子．对于如下的半线性时滞抛物型方程｛面ｄｕ＋Ａｕ硼㈥，２＞吒（０－１４）【ｕ（ｏ＋口）＝乱，（口），占∈【一ｒ，ｏ】Ｌ．ＢｏｕｔｅｔｄｅＭｏｎｖｅｌ，Ｉ．Ｄ．Ｃｈｕｅｓｈｏｖ，Ａ．Ｖ．Ｒｅｚｏｕｎｅｎｋｏ［３２］利用Ｌｙａｐｕｎｏｖ－Ｐｅｒｒｏｎ方法在适当的谱间隙条件和适当小的时滞假设下，证明了（０－１４）惯性流形的存在性．对偏微分方程空间变量离散后解的性态的研究近期已引起人们极大的兴趣．对相应离散模型的研究有助于数值计算和数值分析，并可以得到无穷维动力系统和相应的有限维离散模型的密切联系，例如在偏微分方程的长时间计算方面，连续模型和离散模型的整体吸引子的维数估计及误差分析，近似惯性流形近似等等．而研究时滞反应扩散方程的空间离散系统离散整体吸引子的文献就更少．黄建华［３３】令尼∈Ｎ，将区间ｆｏ，１１进行珏等分，步长为是。我们用∥（ｔ）＝钍（ｔ，ｉｈ）来近似代替函数缸（ｔ，ｚ），得到下面的的空间离散时滞反应扩散方程ｆ尘警堕＝矗阻２一“１】一ｂｕｌ（ｔ）＋ｆＣｕ；），ｔ≥ｔｏ，Ｊ查铲＝矗阻‘＋１—２ｕ‘＋Ｕ１－１］一６∥（ｔ）＋，（让ｉ），ｔ２ｔＯ，ｉ＝２，…，ｎ一１，ｌ生爱堕＝矗阻”一ｕ．－１］一ｂｕ”（ｔ）＋，（ｕ≯），ｔ≥ｔｏ，【∥（ｔｏ＋ｓ）＝咖（ｓ），一ｒ≤３≤ｏ，Ｊ＝１，…，仃，（０－１５）通过引进离散Ｌ２内积及其相应的范数，利用离散Ｐｏｉｎｃａｒｄ不等式证明了池１５）全局吸引子的存在性．本文将引入无穷维动力系统中的非常重要的一个概念——全局吸引子，叙述经典的全局吸引子的存在定理．然后针对不同的问题，运用不同的方法研究 第６页，共：｛７页７ 引言三类时滞的反应扩散方程全局吸引子的存在性．第二章证明了生态学中一类含时滞的反应扩散方程全局吸引子的存在性，然后用数学归纳法以及对该模型的细致分析又给出了全局吸引子的正则性估计；第三章中，通过做一个合适的Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函，证明含时滞的Ｆｉｔｚ－Ｈｕｇｈ－Ｎａｇｕｍｏ系统在一定的条件下拥有一个全局吸引子．最后在第四章中，利用矩阵分析和算子分解的技巧，给出了含时滞的部分耗散反应扩散方程全局吸引子存在的一个充分条件．第７页，共３７页 第一章准备知识１．１全局吸引子的存在定理本章将引入无穷维动力系统中的非常重要的一个概念——全局吸引予，叙述经典的全局吸引子的存在定理．定义１．１．１设Ｅ为Ｂａｎａｃｈ空间，ｓ（ｔ）为连续算子半群，即有ｓ（ｔ）：Ｅ—Ｅ，ｓ（ｔ４－丁）＝ｓ（ｔ）・ｓ（７＿），Ｖｔ，７．≥０，ｓ（ｔ）＝ｊ（恒等算子）．如果紧集∥ｃＥ满足：（ｉ）不变性：即在半群ｓ（ｔ）作用下为不变集，ｓ（ｔ）∥＝∥；Ｖｔ≥０．（ｉｉ）吸引性：∥吸引Ｅ中的一切有界集，即对任何有界集留ｃＥ有ｄｉ８‘（ｓ（。）留，∥）２骝嚣旧（。净一圳Ｅ＿ｏ，ｔ－－－’｜。ｏ特别地，当ｔ—ｏｏ时，从１１，ｏ出发的一切轨线ｓ（Ｏ乱。收敛于∥，即有ｄｉｓｔ（Ｓ（ｔ）ｕｏ，∥）一０，ｔ＿ｏｏ（１．１．１）（１工２）（１．Ｉ．３）那么，紧集∥称为半群ｓ（ｔ）的全局吸引子．全局吸引子的结构是非常复杂的．对于一个非线性演化方程的初值问题掣：Ｆ（＂（ｚ）），ｕ（ｏ）＝？２０．（、１…－１。．‘４，）（１－１．５）它所生成的半群ｓ（ｔ）除了包括方程简单的平衡点（可能是多重解）外，还包括时间周期的轨道，拟周期解的轨道，以及分形，奇异吸引子等，它可能不是光滑流形．且具有非整数维数．为了给出全局吸引子的存在定理，我们需要引入吸收集的概念．定义１．１．２对于有界集留Ｃ彩，使得对任何有界集编Ｃ钐，如果存在ｔｏ（玩）＞０，有Ｓ（≠）善％Ｃ留，Ｖｔ≥ｔｏ（留ｏ）则称』％为彩中的有界吸收集．第８页，共：｛７页（１．１．６）Ｊ‘一、一、… 第一章准备知识引理Ｌ１．１１５，６】设Ｅ为Ｂａｎａｃｈ空间，ｓ（￡），ｔ之０为算子半群，ｓ（ｔ）：Ｅ—Ｅ，ｓ（ｔ＋下）＝Ｓ（ｔ）・ｓ（７－），Ｖｔ，７－≥０，ｓ（ｔ）＝Ｊ（衡等算予）．设ｓ（ｔ）满足以下条件：（ｉ）半群算子ｓ（￡）在Ｅ中一致有界，即对一切Ｒ＞０，存在常数Ｃ（Ｒ），使得当ＩｌｕｌｌＥ≤Ｇ（兄）时，有ＩＩＳ（ｔ）ｕｌｌｅ≤ｃ（Ｒ），Ｖｔ∈［ｏ，＋ｏ。）（ｉｉ）存在日中的有界吸收集留ｏ．（ｉｉｉ）当ｔ＞ｏ时，ｓ（≠）为全连续算子．则半群Ｓ０）具有紧的全局吸引子∥．．（１．１．７）附注１．１．１如果将条件（ｉｉ）中的有界吸收集』‰改换为存在紧的吸收集童％，则条件（ｉｉｉ）中Ｓ（￡）的全连续性可改为Ｓ（ｔ）为连续算子，这时定理１．１．Ｉ仍然成立．附注１．１．２可以证明上述的全局吸弓ｌ子∥为吸收集劈的。极限集，即有∥＝ｕ（留）＝ｎＵｓ（ｔ）留１２０ｔ＞５其中闭包在Ｅ上取．另～个常用的吸引子的存在定理为：（１．１．８）引理１．１．２【５，６】设Ｈ为Ｂａｎａｃｈ空间，半群ｓ（￡）是连续的．设存在一个开集彩ｃＥ和彩的一个有界集力在彩中是吸收的．又设满足条件：（１）算子ｓ（￡）对充分大的ｔ是一致紧的，即对每个有界集留，存在￡＝ｔ１（留），使得Ｕｓ（ｚ）留在日中是相对紧的．（１．１．９）ｔ＞＿ｔｘ或（２）ｓｃｔ）＝岛（￡）＋岛（ｔ），其中毋（・）对充分大的ｔ是一致紧的，算子岛（ｔ）为连续映射，ｓ２（￡）：Ｅ—Ｅ，且对每个有界集ＢｃＨ，ｒＢ（∞＝ｓｕｐ｜Ｉ岛（习钏Ｅ一０，（１．１．１０）１则留的ｕ极限集∥＝ｕ（留）是紧的吸引子，它吸引彩中有界集．它是在彩中的最大有界吸引子，且当彩既凸又连通时，∥是连通的．因此，要证明全局吸引子的存在性，就是要验证引理ｉ．Ｉ．ｉ或引理Ｉ．Ｉ．２的假设是否成立，最主要的是：第９页洪３７页 第一章准备知识（ｉ）半群ｓｃｔ）的存在性与连续性；（ｉｉ）存在一个有界或紧的吸收集；（ｉｉｉ）Ｓ（ｔ）（ｔ２０）为全连续算子或满足条件（１．１．９）（或（１．１．１０））１．２本文中的记号及泛函分析知识本文中我们记：Ｑ是舯中的有界区域，其边界ａＱ是光滑的，测度ＩＱｉ＞０．ｃ（ｘ，Ｙ）：表示从Ｂａｎａｃｈ空间ｘ至ｌＪＢａｎａｃｈ空间），的连续映射的集合，特别地记ｃ０＝ｃ（【－ｒ，０】×Ｑ，日），并赋予范数ｌｌｔ‘ｆｌｃ★＝ｓｕｐｌ｝让（￡＋ｓ，ｚ）｜Ｉ席这里日是－－Ｂａｎａｃｈ空间，¨怕表示日中的范数，ｒ是正常数．扩（Ｑ）：表示Ｑ上的Ｐ次可积的实Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可测函数集，它在赋予范数：…ｂ（ｎ）＝【矗蚓一ｄｚ］；下是Ｂａｎ础空间，其中㈨表示向量珏的欧氏范数．特别的，当Ｐ＝２时，在不混淆的情况下，我们记Ｌ２（Ｑ）的范数为Ｉ．Ｊ．Ｃ铲（Ｑ）：表示Ｇ。∞）中支集为Ｑ的紧子集的函数全体构成的集合．Ｗｋ，９∞）：设ｋ为非负整数，Ｐ≥１，Ｑ是Ｒｎ中的开集．我们称集合札∈Ｗ‘∞）；Ｄｏ仳∈ｐ（Ｑ），对满足ＩｏＩ≤七的任意口）赋予范数㈣哪旷（１［∑阢№）ｉｌａｌ＿＜ｋ后得到的线性赋范空ｆＥ：为Ｓｏｂｌｅｖ空间Ⅳ≈’ｐ（Ｑ）．可以证明，Ｗｋ，ｐ（Ｏ）在上述范数下是一个Ｂａｎａｃｈ空问．当ｐ＝２时，常将Ｗｋ，’（Ｑ）记作日‘（Ｑ）１瞄巾（Ｑ）：ｃ铲（Ｑ）在ｗ毛９（ｎ）的闭包．日１（Ｑ）：＝ｔｕ∈Ｌ２（Ｑ），Ｖｕ∈Ｌ２（Ｑ）｝，硪∞）：表示Ｇ酽∞）在日１（Ｑ）的闭包，在赋予半范数：Ｉｌｕｌｆ＝［厶ＩＶ训２ｄｘ］｛Ｔ是Ｂａｎａｃｈ空间．定义１．２．１入ＨＳｌｄｅｒ半范数设缸（ｚ）是定义于Ｑｃ舻上的函数，对于０＜口＜１，弓‰＝芸ｙｅｕｌ２：≠，警掣Ｙｌ第１０页，共３７页“。。５ｌｚ一，ｚ≠Ⅳ￡， 第一章准备知识用俨（豆）表示Ｑ上满足Ｍ。；ｎ＜＋ｏ。的函数全体，并定义范数如下：Ｍｄ；ｎ＝ｌｕｌｏ；ｎ－４－Ｍ。；ｎ，其中…Ｏ；ｎ表示ｕ（ｚ）在Ｑ上的最大摸，即Ｉｕｌｏ；ｎ＝ｓｕｐｌ让（ｚ）｜．现在介绍Ｓｏｂｌｅｖ空间理论中一个重要的定理——嵌入定理，其证明可以参见文献［３ａ１．引理１．２．１（嵌入定理）设ＱＣＲ“为一有界区域，１≤ｐ≤＋∞．（ｉ）若Ｑ满足一致内锥条件，则当Ｐ＝扎时，有Ｗ１护（Ｑ）ｃ∥（Ｑ），而且对任意的ｕ∈Ｗ１护（Ｑ）有１≤Ｐ＜＋ｏ。，ＪＩ训Ｉ工一（ｎ）≤ｃ（ｎ，ｑ，Ｑ）Ｉｌ训ＩⅣｔ一（ｎ），１≤ｐ＜＋ｏｏ；当Ｐ＜ｎ时，有ＷＩ，ｐ（Ｑ）ｃｐ（Ｑ），１≤ｐｓ矿＝恶，而对任意的ｔ‘∈Ｗ１，９（Ｑ）有ＩｌｕＩｌ即（ｏ）≤Ｃ（ｎ，ｇ，Ｑ）ｌｌｕ０Ⅳｌ沪（ｎ），１≤ｐ≤ｐ＋；（ｉｉ）若ａＱ适当光滑，则当ｐ＞７／，时，有Ⅳ１’ｐ（Ｑ）Ｃｃ。（丽），０＜ａ≤１一兰，而对任意的Ⅱ∈Ｗ１，９（Ｑ）有ｌ让Ｊ。；ｎ≤Ｇ（％ｑ，Ｑ）ＪＪｔ二《ｗ，一‘啦，０＜ａ≤ｌ一兰．这里ｐ・称为ｐ的Ｓｏｂｌｅｖ共轭指数，而称上述三个不等式中的常数Ｃ为嵌入常数．引理１．２．２（紧嵌入定理）设ＱｃⅡＰ为一有界区域，１ＳＰ≤＋ｏｏ．（ｉ）若Ｑ满足一致内锥条件，则当ｐＳｎ时，下列嵌入是紧的：ｗ１护（Ｑ）ｑ＂（Ｑ），Ｗ１，ｐ（Ｑ）ｑ口（Ｑ），１≤ｇ≤ｐ．，Ｐ＜／／，，１≤口＜＋ｏｏ，Ｐ＝以，（五）若魂适当光滑，则当ｐ＞７；时，下列嵌入是紧的：Ｗ１巾（Ｑ）一俨（动，０＜ｎ≤１一兰．第１１页，共３７页 第一章准备知识本文我们还需要如下的基本不等式．Ｙｏｕｎｇ不等式设ｏ＞ｏ，６＞ｏ，Ｐ＞１，窖＞１，且；＋ｉ１＝１．则有。ｂ≤一ａｐ＋竺．Ｐｇ特别地，当Ｐ＝ｑ＝２时，上述不等式也称为Ｃａｕｃｈｙ不等式．设Ｅ＞０，在上述不等式中用Ｅ；ｎ和ｆ一；６代替Ｄ和ｂ，可得有带Ｅ的Ｙ．ｏｕｎｇ不等式设ｏ＞ｏ，ｂ＞ｏ，Ｅ＞ｏ：Ｐ＞１，ｑ＞１，且；＋ｉ１＝１．则一凸ｂ≤竺生＋—ｅ．－＇；—ｂｑ≤Ｅａｐ＋￡一；泸．ｐｇ特别地，当Ｐ＝ｇ＝２时，它变为曲≤ｉ舻＋麦６２，称之为带Ｅ的Ｃａｕｃｈｙ不等式．Ｈ６ｌｄｅｒ不等式设Ｑｃ础为一可测集，Ｐ＞１，ｑ＞１，且；＋；１＝１．若，∈Ｌ９（Ｑ），ｇ∈工４（Ｑ），贝Ｕ，・ｇ∈Ｌ１（ｎ），且／｜ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）Ｉｄｘ≤…￥）怯（ｏ）・ｌＩｇ（ｘ）ｌｌＬ・（ｎ）．特别地，当Ｐ＝ｑ＝２时，上述不等式称为Ｓｃｈｗａｒｚ不等式．Ｐｏｉｎｃａｒｄ不等式设１≤Ｐ＜＋。ｏ，ＱｃⅡＰ为一有界区域．（ｉ）若乱∈Ⅵ名护（Ｑ），贝０¨Ⅱ１９ｄｘ≤Ｃ／＿｜ＤⅡｆ９ｄｒ；（ｉｉ）若锄满足局部Ｌｉｐｃｈｉｔｚ条件，Ⅱ∈Ｗ１护（ｎ），则／ＩⅡ一ｕｎｌ９ｄｘ≤Ｃ／ＩＤｕｌ９ｄｚ，其中ｃ是仅依赖于礼，ｐ和Ｑ的常数，ｕｎ＝南厶ｑ（ｚ）出．（１．２．１１）（１．２．１２）Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式【６１设夕（ｆ），＾（ｔ），可（ｔ）≥０是［ｔｏ，＋ｏ。）上的局部可积函数，并且可’也在Ｉｔｏ，＋ｏ。）上的局部可积，满足ｄｙ疵≤荆删＋㈨，Ｖｔ＞ｔ。，则广毒ｓ，（￡）≤ｙ（ｔｏ）ｅｘｐ（／９（ｒ）ｄ７．）Ｊｔｏ第１２页，共３７页 第一章准备知识＋／＾（ｓ）ｅｘｐ（一／ｇ（ｒ）ｄ１－）ｄｓ，ｔ≥ｔｏ．（１．２．１３）一致Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式【６】设９（ｔ），九（￡），ｙ（ｔ）≥ｏ是‰＋ｏｏ）上的局部可积函数，并且分’也在‰，＋ｃｏ）上的局部可积，满足搴≤ｇ（￡）ｙ（￡）＋＾（￡），Ｖ￡２￡。，如果￡＋ｒｇ（ｓ）ｄｓ≤ｋ１，￡＋ｒｈ（ｓ）ｄｓ≤ｋ２，∥＋ｒｙ（ｓ）ｄｓ≤如，其中‰０＝１，２，３）为正常数．则．笋ｏ＋ｒ）≤（譬＋如）ｅ七－，Ｖｔ≥芒０．第１３页＇共３７页 第二章生态学中一类含时滞反应扩散方程的全局吸引子２．１背景在生物界中存在两种群竞争（或合作），此时每一种群的生长由于另一种群的存在而减少（增加），如果两种群之间的相互作用不是线性密度制约的关系，可设环境的容纳量为【３５】：川（ｚ）＝尼魁（ｔ）［号等漂竺争一肚（ｔ）】，（ｉ，歹＝１，２）．这些研究都是在种群密度均匀分布情况下进行的．然而在自然界中由于异质性，种群密度分布是不均匀的，它不仅依赖于时间还依赖于空间，因此有必要研究带扩散项问题：Ｉ口ｉ＝Ｏ（ｉ＝１，２）ｏ∈ａＱ，ｔ≥０，Ｉｕｉ（ｔ，石）＝庐ｉ（ｔ，ｚ）０＝１，２），ｔ∈【一ｒ，ｏ】，ｚ∈Ｑ，（２．１．１）其中ｒ＝ｍａｘ｛丁１，丁２）；ｂｉ，岛，盔，ｅｉ（ｉ＝１，２）为正常数，Ｑ是Ｒｎ中的有界开集，且具有充分光滑的边界ａＱ，Ｔ为任意正常数．对于问题（２．１．１）的解的存在唯一性，及解的渐近性态的研究已有大量的结果，见【３６，３７】．然而对含时滞的反应扩散方程解的渐近行为研究却相对较少【２９，３０】．本文将对生态系学中含时滞反应扩散系统（２．１．１）的长时间行为进行研究，证明了该系统存在吸引子，并对其正则性进行估计．本章中，记Ｌ晕（Ｑ）＝｛“∈Ｌ‘（Ｑ）：ｕ≥ｏ，ｄ．ｅ．ｚ∈Ｑ｝，其范数记为：Ｉ．ｋ特别的，日竺陋；（Ｑ）】２，Ｖ竺【硪（Ｑ）】２ｎ日．（靖＝ｅ（［一ｒ，ｏ】，Ⅳ），（Ｘ＝Ｇ（【一ｎｏ】，Ｖ）其范数分别为：№Ｊ｜％＝ｓｕｐＩ仳０＋ｓ，ｚ）…ｔ‘８印＝ｓｕｐＩｌｕ（ｔ＋８，ｚ）肌算－ｒ＜ｓ＜＿Ｏ子Ａ＝一面△“＝１，２）．下面给出国，∞中吸收集的定义第１４页，共３７页－ｒ＜ｓ＜ＯＩＪ挈＝ｄ２Ａｕ２（ｔ，ｚ）－ｆ－ｕ２（ｔ，ｚ）ｆｔ坠ｌ＋螋ｕｌ（ｔｊ－！型，ｌ，。）一ｅ２ｕ２（ｔ＇瑚￡∈（ｏ，妁，ｚ∈Ｑ，学＝ｄａＡｕｘ（ｔ，ｚ）＋乱１（和）（譬搿一ｅｌｕｌ（ｔ，ｚ）Ｊ 第二苹生态学中一类含时’衙反应扩散方程的全局吸引子定义２．１．１【３８】．记Ｂｃ。（０，力，‰（Ｏ，ｐ）分别表示％，ｃｐ中以０为圆心Ｐ为半径的球，设≯∈铅，妒∈ｏ并且对任意给定的实数盯＞０，有ｉＩ毋１１ｃ．＜盯，ＩＩｌ，ｏｌｌｃ，．＜盯．如果存在一时间ｔｏ＝ｔｏ（ａ）＞０，当￡≥￡ｏ时有ｌＩ让（ｔ；０，咖）ｌＩｃ。＜ｐ，ＩＩ札（￡；０，￥＇）ｌｌｃｖ＜Ｐ．则ｃｋ，ｃ、，中分别存在吸收集Ｂｃ．（０，ｐ），且∞（０，ｐ）．则由文【３６】知（２．１．１）的解存在唯一．如果定义Ｓ０）：（≯ｌ，≯２）∈ＣＨ——＋（ｕｌｔ，牡２ｔ）∈Ｃ膏．其中乱“＝ｕｄｔ—ｒ’ｚ）０＝１，２），刘ｓ（ｔ）为连续半群算子（见【１６Ｊ）．２．２全局吸引子的存在性定理２．２．１系统（２．１．１）所定义的半群ｓ（ｔ）拥有一个全局吸引子∥，它在Ｃｔ中有界，并且在铅中是紧的，连通的．它吸引％中的任一有界集．证明：（２．１．１）分别乘以Ｕｌ，＂９２，在Ｑ上积分且由Ｇｒｅｅｎ公式及ＨＳｌｄｅｒ不等式整理得羞（Ｉ缸・１２＋Ｉ坳１２）＋ｅ，上碡ｄｘ＋ｅ２上ｕ；出≤一２ｄｏ（１ｌｕ，１１２＋１１坳１１２）＋岛・（２．２．１）其中：ｄ０＝ｍｉＩｌ｛ｄ１，ｄ２），Ｃｏ＝舅（善＋善）ＩＱＩ，最＝ｍａｘ｛ｂ，，ｑ｝ｏ＝ｌ，２）．由极值原理知（１２．１，乱２）是非负的，由Ｐｏｉｎｃａｒ６不等式得豢（Ｉｕｌｌ２＋Ｉ＇ｔ／，２１２）≤一２ｄｏ：～１（１ｕｌｌ２＋１ｕ２１２）＋ｃｂ．其中Ａｌ是Ｐｏｉｎｃａｒ６常数．由Ｏｒｏｎｗａｌｌ不等式得ｌｕｌｌ２＋Ｉ乱２Ｊ２≤（｜妒１Ｉ；＋Ｉ≯２Ｉ；）ｅ一２ｄｏｈ‘＋；ｉ；兰一（１一ｅ－２ｄｏＭｔ）．（２．２．２）（２．２．３）记而＞ｐｏ垒、／蠢暑．则编全ＢｃＨ（Ｏ，∥ｏ）是ｓ（ｔ）在ｃｋ中的吸收集，其中且％（ｏ，风）是Ｃ■中以０为圆心确为半径的球．对于ＣＨ中的任意有界集留，则存在Ｒ＞０使得留ｃＢ（０，Ｒ）・由（２・２・３）易知，当ｔ≥ｔｏ＝甄１丙ｍ虿Ｒ＝２磊时Ｓ（￡）留ｃ占％．从ｔ到ｔ＋ｈ（ｈ＞ｏ）积分（２．１．１）式得：（２．２．４）ＪｔＪ￡Ｊｎ２第１５页，共３７页Ｊｔ／ｕ２（ｓ，ＪｎＺ２＋６（ｏ“・（ｓ）１１２＋Ｉｔｔｄｓ＋ｅ，，‘＋“．／！：札３１（ｓ，眈＋＋ｅ２／／／札ｓ，（０“・（ｓ）１１２＋Ｉ１ｔ，２（ｓ）１１）ｄｓ上ｕ２（ｓ，ｚ）ｄｘｄｓ 第二章生态学中一类含时滞反应扩散方程的全局吸引子≤Ｃｏｈ＋ｌｕｌ（￡，。）１２＋ｌｚ乜（ｔ，ｘ）１２．对上述留，如果（咖ｌ，≯２）∈留，ｔ兰ｔｏ，则由（２．２．４），（２．２．５）得（２．２．５）２ｄ０／Ｊｔ（Ｉ｜Ⅱｚ（ｓ）０２＋ｆ｜让２（ｓ）ｌｆ２）如＋／Ｊｔ／（ｅｌｕ；（ｓ，ｚ）＋ｅ２ｕ２（ｓ，ｘ））ｄｘｄｓＪｎ≤Ｃｏｈ＋席．（２．２．６）又（２，１．１）分别与一Ａｕｌ，一Ａｕ２做乘积，在Ｑ上积分且由ＨＳｌｄｅｒ不等式整理得杀（ＩＩ＂Ｕ１ｆｆ２＋｜ｆⅡ２ｆｆ２）＋ｄ０（１△让１１２＋ｌ△ｕ２１２）≤∥（１ｌｕｌｌｌ２＋ｌＩ“２１１２）＋ｐ（ＩⅡ１１２＋Ｉ“２１２），（２．２．７）其中ｚ，＝２ｍａｘ｛ｏ，ｃ２），ｐ＝ｍａＸｆＱ专竽，业亏竽）．如果（≯１，妒２）∈留，ｔ≥ｔｏ，注意到ｆｒ“ｖｄｓ：ｖｈ垒钆｛￡＋６卢（Ｊ札１１２＋Ｊ“２１２）ｄｓ≤＾ｐ席垒ａ２，【ｒ＋“（｜｜Ⅱ。（ｓ）Ｉ｜。＋ｏ＂：（ｓ）ｏ。）ｄｓ≤坚甍砉篮垒ｎ。，则（２，２．７）由一致ＧｒｏｎｗａＵ不等式得（２．２。８）Ｉｌｕｌ｜１２＋ＩＩｕ２１１２≤（鲁＋ａ２）ｅ口，全衍，Ｖｔ≥ｔｏ＋ｈ．（２．２．９）从而ｇ￥１＝Ｂｃ，（０，Ｐ１）是半群ｓ（ｔ）在ｃ◆中的吸收集．进一步，如果留是ｃ膏中的任一有界集，则有：ｓ（ｔ）ｓｃ历１，Ｖｔ≥ｔｏ＋ｈ．（２．２．１０）由于ｃＶ到Ｃ＿的嵌入是紧的，因此ｓ（ｔ）在ｃ＿中是一致紧的，由引理１．１．１知ｓ（ｔ）在Ｃ『日存在紧的，连通的全局吸引子∥，定理得证．口２．３全局吸引子∥的正则性估计本节我们将证明下面的正则性结果．定理２．３。１．系统（２．１．１）所拥有全局吸引子∥在【Ｌ筝（Ｑ）】２中有界．为此，我们首先给出两个辅助引理．引理２．３．１１４０１．记墨（ｔ）＝ｅ－地＠＝ｌ，２）为算子Ａ生成的解析半群，则存在常数Ｋ＞０使得Ｉ∑｛（￡）妒ＪＬ＊（ｎ）≤Ｋｔ一。ｅ—ｄ‘～。Ｉ，ｐｌＬ，（ｎ），Ｖ妒∈—酽（Ｑ），第１６页，共３７页 第二章生态学中一类含时滞反应扩散方程的全局吸引子其中石＝嚣十Ｅ，（ｏ＜ｅ《１）．引理２．３．２．系统（２．１．１）所拥有全局吸引子∥在【珥（Ｑ）】２中有界．证明：我们只需用数学归纳法证明：对任意的ｋ≥２且ｋ∈Ｎ有∥在陋晕（Ｑ）】２中有界．（２．３．１）ｋｉ＊ｔ＋ｈｒｓｕｐ／（母ｌ，如）∈∥Ｊｔ／（ｕ｝＋１＋呓＋１）ｄｘｄｔ≤Ｍ（七），Ｖｔ≥０，ｈ＞０．Ｊｎ（２．３．２ｈ其中（ｔ￡１，ｕ＇ｚ）是（２．１。１）的解，Ｍ（ｋ）表示任意一个与惫有关的常数．以下我们简记Ｍ（ｋ）为Ｍ，可能每行表示不同的与ｋ有关的常数．（ａ）当七＝２时，由定理２．２．１的证明知（２．３．１）２成立，对任意的（砂－，九）∈∥，由（２．２．５）知／／（ｅ１前（ｓ，ｚ）＋ｅ２ｕａ２（ｓ，。））ｄｚｄｓ≤Ｃｏｈ＋ｌｕｌ（ｔ，ｚ）１２＋Ｉ让２（ｔ，∞１２≤Ｍ即（２．３．２）２成立．（ｂ）假设当ｋ≥３时，（２．３．１）≈一１及（２．３．２ｈ一１成立．假设（≯１，如）∈∥．（２．１．１）两边分别乘以ｔ‘｝～，Ⅱ；～，并在Ｑ上积分有：丢五ｄｋ睦＋也＠一１）Ｚ珏｝≈１Ｖ让ｚ１２≤Ｇ一詈ｋ阱ｋ＋ｚｌ，丢面ｄＩⅡ。睦＋ｄ２＠一１）上Ⅱ！一２ＩＶ“。１２≤Ｑ一警ＩⅡｚ倭辜ｉ，其中Ｇ＝（南）‘“（萼）。ＩＱｌ，ｌ＝１，２．即丢丢（１ｕ－瞠＋Ｉ让：１１）＋詈ｌ乱－群ｉ＋詈Ｉｕ：群ｊ≤伤垒Ｇ＋Ｑ．由归纳假设及一致Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式得ｌｕｌＩ：＋Ｉｕ２幢≤Ｍ，ｔ≥ｈ．即（２．３．１）ｋ成立．进而（２．３．３）式在￡到ｔ＋ｈ（ｈ＞０）间积分有厂¨ｆｅｌ＇Ｕ．１¨ｔ＋。。乱。ｔ＋ｔｄｘｄｔ＜＿２Ｃ３ｈ＋罢（Ｉ札。睦＋｝Ⅱ。１２），≤Ｍ：Ｖｔ≥０．第１７页，共３７页（２．３．１）（２．３．２）（２．３．３）／Ｉ；Ｊｔ，．。 第二章生态学中一类含时滞反应扩散方程的全局吸引子又因为ｓ（＾）∥一∥．故（２．３．１）々，（２．３．２）ｋ成立．口定理２．３．１的证明：由常数交易公式有ｌ＠一√０（￡）枕＋／号兰萼兰—；２】ｄｓ．（２．３．０取（≯１，也）∈∥，由引理２．３．１和引理２．３．２得ｌｕｌｌ二≯（ｎ）ｓＫｔ一６ｅ—ｄ１＾１‘ｌ≯１ｌｐ（ｎ）＋／Ｋｅ—ｄ１＾１‘卜。’（￡一ｓ）一５也｝钍１（ｓ）ｌ驴（ｎ）ｄｓ，Ｖｔ≥＾（２．３．６）故Ｉ扎１ｌＬ筝（Ｑ）≤ＫＭ［ｔ一５ｅ一也＾１２＋／ｅ－ｄｘＡｘ（ｔ－ｓ）（ｔ—ｓ）一６ｄｓ】，Ｖｔ≥０，（２．３．７）其中，６＝；－ＦＥ（ｏ＜Ｅ＜；），故存在尬＞０，使得当ｔＩ乱ｌＩＬ箬（ｏ）Ｓ＾矗．同理有２ｈ时，（２．３．８）ｌＵ２［Ｌ筝（ｍ－－＜尬，Ｖｔ≥ｈ．（２．３．９）再由ｓ（ｔ）ｄ＝∥知，ｌＵｌ［Ｌ筝（［１）＜－－尬，ｌＵ：ＩＬ≯（ｍ＜－－尬，Ｖ（让，口）∈∥．定理证毕．口第１８页，共３７页）＋札－鱼｝晕宅掰】ｄｓ，（２．３．４）０≤扎－＝∑－（∞也＋Ｚ。Ｅｔ＠一Ｓ）［－－ｅｌ砰（Ｓ０／≤扎ｌ＝∑１（ｔ）也＋）＋ｔ‘１＝￡三号；ｕ２、ｏ—０２，山，字】ｄｓ，（２．３．４）≤ｕ。＝∑。（￡）枕＋（ｉｒ，２（ｔＪ—ｓ）【一￡２遽（ｓ）＋“。垒｝晕宅矧１一ｓ）【一￡２遽（ｓ）＋“２兰ｆ呈－１．“～Ｊ一’；１，！】安ｏＪｄｓ．（２．３．５）５）≤ｕ２＝∑２２ｓ 第三章含时滞的耦合Ｆｉｔｚ－Ｈｕｇｈ—Ｎａｇｕｍｏ系统的全局吸引子３．１基本知识考虑问题鲁＝ｄＡＵｌ＋Ｃ（Ｕ２ｔ一＂Ｏ，ｌｔ）＋ｇ（ｕ１）一７３１，警＝ｄＡｖａ＋Ｃ（＇／／，ｌｔ—ｌ￥２ｔ）＋ｇ（ｕ２）一ｔＪ２，等＝，（‰ｖ１），鲁＝ｍ２，耽），【ｏ，佃）×１２，＇／Ｌｉ＝ｏ（ｉ＝１，２），ｚ∈ａｓ２，ｔ≥０（３．１．１）ｕ（０，ｚ）＝仳ｏ（ｚ），ｚ∈Ｑ，讹（ｔ，ｚ）＝Ａ＠，ｚ）０＝１，２），ｔ∈ｆ－７．，ｏ】，。∈Ｑ，饥（ｏ，ｚ）＝ｔ，ｍ（ｚ），币ｉ（ｏ，ｚ）＝ＶＨｏ（Ｚ）ｚ∈Ｑ，舅；中／（ｕ，口）＝６ｕ一，ｙｔ，，９（ｕ）＝－ｕ（１一Ⅱ）＠一ｔ‘），０＜ａ＜§；ｍｔ＝ｕｉ（ｔ—ｒ，ｚ），下∈１０，ｒ１．Ｑ是足。中的有界开集，且具有充分光滑的边界锄，地表示神经纤维中的电势，＂Ｏｉ与细胞膜的恢复机制有关［４１１．上述模型描述了两个毗连的纤维锥间的传导过程．当ｃ＞０时，耦合是刺激型的；当ｃ＜０时，耦合是抑制型的；当ｃ＝ｒ＝０且牡１＝ｔ‘２时上述模型退化为通常意义下的ＦＨＮ模型，对这类模型的平衡解及解的渐近行为，动力行为的研究，已有大量的工作【２４，４２】．当ｃ＝ｒ＝０时上述模型退化为不含时滞的耦合ＦＨＮ模型，文【４３】讨论了其行波解的存在性，文【“】讨论解的长时间行为，证明了全局吸引子的存在性．而对于含时滞的耦合ＦＨＮ模型（３．１．１），最近文［４５１研究了延迟耦合ＦＨＮ系统的斑图动力学行为，给出了静息态的局部稳定和不稳定的参数区．本章我们研究含时滞的耦合ＦＨＮ反应扩散系统的长时间行为，给出了全局吸引子存在的一个充分条件，并推广了文【４４】的结果． 第１９页，共３７页 第三章含时滞的耦合Ｆｉｔｚ—Ｈｕｇｈ－Ｎａｇｕｍｏ系统的全局吸引子３．２全局吸引子的存在性本章中，我们记日＝［Ｌ２（Ｑ）】２，Ｖ＝【硪（Ｑ）】２．ｃ０＝ｃ（［－ｒ：ｏ】，Ⅳ），ｃＶ＝ｃ（【一？’，ｏｌ，ｙ），分别定义范数ＩＩ饥ｌ｜％＝ｓｕｐｌｕ（ｔ＋ｓ，ｚ）ｌ，ＩｈＩｌＧｖ＝ｓｕｐ忆（ｔ＋一７ＳｏＳＯ—ｒ≤ｓ≤０ｓ，ｘ）１１．令Ｕ＝（ｕｌｔ，ｕ２ｔ，＂Ｕ１，砚）Ｔ，ｇｏ＝（≯１，也，勘１０，忱ｏ）？‘ｔ则利用文【６】的方法可以证明下面的定理．定理３．２．１若％∈％ＸＨ，则问题（３．１，１）存在唯一解Ｕ＝（＇ｔ／，１，ｔ，Ｕ２，ｔ，＇Ｕ１，ｖ２）Ｔ∈ＣＨＸ日且满足札乱∈Ｌ２Ｃ［－ｒ，０】，口（Ｑ）），让∈口（Ｑ）（ｉ＝１，２），进一步有映射ｓ（ｔ）：％一矿是连续的，且Ｓ（ｔ）满足半群性质．以下我们对（３．１．１）的解做先验估计，为简单起见，不妨设６＝１．由于时滞项的出现，将造成有界性估计的困难．为此我们通过构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函的方法得到解的估计．定理３．２．２设ｎ—ｌｃｌ＞０，令，７＝２ｍｉｎ｛ａ—Ｉｃｌ，７），如果叩＞２怫则对任意的ｔ＞Ｏ，（３．１．１）的解满足ｌｕｌｌ２＋１Ⅱ２１２＋ｌ口１１２＋Ｉｖ２１２≤（１ｕｌｏｌ２十ｌ“２０｜２＋ＩＶｌＯｌ２＋Ｉｖ２０１２＋Ｋ（ｒ））ｅ一∥＋等．（３．２．１）其中ｐ＝型１址２８必Ｉｏ＂＂Ｉ＇Ｐ为正实数，且满足Ｐ＋２１ｔｉｅ＝＝７１．Ｋ（ｒ）＝２ｌｃＩ伫ｅ∥ｅ芦（Ｊ庐，（ｓ）１２＋Ｉ妒２（ｓ）１２）ｄｓ．证明（３．１．１）前四式分别乘以ｕ１，Ｕ２，ｔ，１，Ｖ２并在Ｑ上积分，然后相加得：杀（｜Ｕｌｌ２＋ＩＵ２１２＋ｌ＂１１２＋Ｉｖ２１２）≤一叼（１ｕｌｌ２＋Ｉ抛１２＋ｌＶｌｆ２＋Ｉｖ２１２）一２ｄ（ＩＷｌＪ２＋ＩＶｕ２］２）＋２１ｃ１（１“１，，１２＋ＩＵ２，ｔｆ２）＋ｐ．选取正实数口使得口一，７＋２１ｔｉｅ升＜０．令：ｗ（ｔ，１１，１’ｔＩＵ２，￡，口１，地）＝ｅ以（１ｕｌｌ２＋Ｉ仳２１２＋ｊＶｌｌ２＋Ｉ忱１２）／．ｔ（３．２．２）＋２Ｊｃｆ／ｅ打ｅ如（Ｊｕｌ（ｓ）１２＋ＪＵ２（ｓ）｜２）ｄｓＪｔ—ｒ，ｔ＋２ＩｃＩ／ｅ打ｅ妇（Ｉｕｌ（ｓ）１２＋ｌ现（ｓ）１２）ｄｓ．第２０页洪３７页（３．２．３） 第三章含时滞的耦合Ｆｉｔｚ－Ｈｕｇｈ－Ｎａｇｕｍｏ系统的全局吸引子则：．爰ｗ＝日ｅ乳（１性１１２＋Ｉｔ‘２１２＋ｌｔ，ｌ１２＋Ｉ也１２）＋ｅ巩五ｄ（Ｉｔ‘１１２＋ＩⅡ２１２＋Ｉ刨１１２＋ｆ忱１２）＋２ｌｃｌｅ眦Ｉｅ８７（１让１１２＋ｌ＂／Ｚ２Ｊ２）一（１Ｕｌ，ｔ１２＋Ｊ“２，ｔＪ２）】＋２１ｃｌｅ以∥７（１ｔＪｌｌ２＋Ｉ忱１２）ＳｅＯｔ（Ｉｕｌｌ２＋Ｉｕ２１２＋Ｉ＂Ｕ１１２＋ｌ屹１２）（口一叩＋２ｒｃｌｅ打）＋卢ｅ巩≤ｐｅ晚．因此上式积分，令口一Ｐ．ｅ一“乱１１２＋Ｉｔ上２Ｊ２＋Ｉｔ，１１２＋Ｉ忱１２）ＳＩ似１０１２＋ＩⅡ２０１２＋Ｉ＂ｌｏｌ２＋Ｉｖｚｏ［２＋２ＩｃＩ／ｅＰｒｅ舻（Ｉ咖，０）１２＋Ｉ庐。（ｓ）１２）ｄ５＋／ｐｅ芦ｄｓｓＩＵｌＯｌ２＋Ｉ仳加１２＋Ｉ＂ｂ＇１０Ｊ２－Ｉ－ｌ忱０１２＋ｊｒ（ｒ）＋等∥．（３．２．４）由（３．２．４）知（３．２．１）成立．口设Ｂ１是ｃ：Ｈ中的任一固定的有界集，则存在Ｒｏ＞０，使得Ｂ１ｃＢｃＨ（Ｏ，Ｒ０）．其中，Ｂｏ．（Ｏ，扁）是％中以０为圆心凡为半径的球．岛是Ⅳ中的一给定的有界集，且岛ｃＢ（０，Ｒ１），其中Ｂ（ｏ，月１）是口中以０为圆心Ｒ１为半径的球．则对任意的％∈Ｂ＝Ｂ１×岛，有Ｉ毋ｌ忙＋№毕≤瑞，ｆ口－０１２＋Ｉｖｉｏｌ２≤磁，从而于是一．Ｊ—ｒｒ口（．）ＩⅡ１１２＋ｌｕ２１２＋』口１１２＋Ｊｖ２１２≤ｅ一∥（焉＋磺＋嚆）＋等．则当ｔ≥ｔｏ＝ｔｏ（Ｂ１，岛）＝；ｌＩｌ篮芋盟时ｌ乱１１２＋Ｉｔ‘２１２＋Ｉ甜１１２＋Ｉｔｌ２１２≤等．（３．２．６）（３．２．７）由（３．２．７）知，当ｔ２ｔｏ＋ｒ时：ｏ疗ＩＪ“ｌ，ｔＩ｜醣＋ＩＩ地，ｔｏ色＋Ｉ口－１２＋Ｉｖ２１２≤等．由（３．２．８）知系统（３．１．１）在Ｃｎ×日中存在吸收集．（３．２．８）下面我们在Ｃ『ｙＸＶ中对解做先验估计．第２ｌ页，共３７页．ｇ（ｒ）＜２Ｈ．仁ｅ，ｒｅｐＪ酗驯鲁焉瑙．）≤２ＪｃＩ／瑶ｄｓ≤２ＩｃＩ≥焉＝避嘲３．２５ 第三章含时滞的耦合Ｆｉｔｚ—Ｈｕｇｈ－Ｎａｇｕｍｏ系统的全局吸引子定理３．２．３设ｎ—ＩｃＩ＞０，令叼＝２ｍｉｎ｛ａ—Ｉｃｌ，，ｙ），如果７７＞２ｌｃｌ，则对任意的ｔ＞ｔｏ＋ｈ＋ｒ（ｈ＞０），系统（３．１．１）的解有：０孔１１１２＋ｌＪｕ２１１２一致有界．证明令：Ｊ（ｔ，ｉｔｌ勘Ｕ２，ｔｕ（￡），抛（ｔ））＝ｌｕｌＣｔ）１２＋Ｊｕ２（ｔ）１２＋Ｉ＂Ｕ１（￡）ｆ２－４－Ｉ忱（ｆ）１２ｆｔ＋２Ｉｃｌ／（１ｕｌ（８）１２＋ｌ“２（ｓ）１２）ｄｓ．（３．２．９）Ｊｔ－ｌ＂则：ａＪ＋ｊ≤一２ｄ（１ｌ乱１ＪＪ２＋ＪＩｔ‘２１１２）一２０（Ｉｕｌｌ２＋Ｉ＇ｌｔ２１２）一２，ｙ（ｆ＂１１２＋ｌｔＪ２Ｊ２）－４－ｌｃｌ（Ｉｍｌ２＋Ｉ“２１２＋ｌ“ｌ，ｔ１２＋ＩⅡ２，ｔ１２）＋２１ｃＩ［（１ｕｌｌ２＋ｌｕ２１２）一（１Ｕｌ，ｔＪ２＋Ｉｕ２，ｔ１２）】＋ｐ≤－２ｄ（ＩＭｌｌ２－４－ＩＪｕ２ＪＪ２）一，Ｊ（Ｉ“ｉ１２－Ｉ－ｌｔ‘２１２＋ＩＶｌＪ２＋Ｉ忱１２）＋卢．（３．２．ｉ０）（３．２．１０）式在ｔ到ｔ＋ｈ（ｈ＞０）上积分有：Ｊ（ｔ＋‘牡１，ｔ＋＾，＇ｔｔ２，ｔ＋＾，ｖ（ｔ－４－＾），ｖ２（ｔ＋＾））＋Ｊ？＋“２ｄ（ＩＭ（ｓ）１１２＋Ｉｌ“２（ｓ）１１２）ｄｓ≤Ｊ（ｔ，ｕ１，ｔ，ｕ２南口（ｔ），忱（ｔ））＋九卢．特别的对上述Ｂ，任取Ｕｏ∈Ｂ，当ｔ≥０时，由（３．２．６）得：（３．２．１１）／（ｆｆ“－（ｓ）｜１２＋ＪＪⅡ。（ｓ）㈣出≤Ｇ，（３．２．１２）其中ａ＝（１＋２ｒ［２ｃｄｌ）Ｒ＋ｈＢ，Ｒ＝磁＋Ｒ｝＋嚆＋ｇ．进一步，当ｔ≥ｔｏ时：／（№（ｓ）｜｜２＋ｆ１砌（８）１１２）幽≤％（３．２．１３）其中ａ２＝壶【（２ｐ＋４ｒｌｃｌ）Ｄ＋ｈｐｊ９］．（３．１．１）的前两式分别乘以一Ａｕｌ，一△乱２，在Ｑ上积分后相加得：＋譬“ｔＩｌ，￡１２＋Ｉｕ２，ｔ１２）＋ｉ（ｆｖｌｔ２＋Ｉｖ２１２）．对任意的ｇｏ∈Ｂ，当ｔ２ｔｏ＋ｒ时，由（３．２．８）知：Ｚ件６【和如１２也。１２）＋弘１２＋Ｉ啪Ｉ】ｄｓ＜０３，第２２页，共３７页（３．２．１４）＠２．１５）导（ｏ＇ｉｔｌ０２＋Ｉｌｔ上２１１２）ｓ—ｄ（ＩＡｕ。１２＋Ｉ△ｕ２１２）＋掣（１ｌｕ，ＩＪ２＋ＪＪⅡ２０２） 第三章含时滞的耦合Ｆｉｔｚ・Ｈｕｇｈ－Ｎａｇｕｍｏ系统的全局吸引子其中ａ３＝了２ｈＺｍｉｎ｛－譬－，；）．由一致Ｇｒｏｎｗａｌｌ定理知：ＪＪ让１１１２＋ＩＩ乱２｜｜２≤（警十ａ２）ｅ４－＝ｃｌ，Ｖｔ≥ｔｏ＋ｈ＋ｒ．（３．２．１６）其中：ａｌ＝ｉ２仪“２一ｏ＋１）．故定理３．２．３得证．口定理３．２．４设ａ—ＩｃＩ＞０，令，７＝２ｍｉｎ｛ａ—ＩｃＩ，，ｙ｝，如果，７＞２１ｃｌ，，则系统（３．１．１）拥有一个全局吸引子∥，它在Ｃｖ×Ｖ中有界，并且在Ｃ０×Ｈ中是紧的，连通的．它吸引铅×日中的任一有界集．证明：我们只需证明算子半群ｓ（ｔ）满足引理１．１．２的条件．事实上令：耽＝讲＋砰，（ｉ＝１，２），。其中：ｌ谚＝地ｏｅ一．掣８１卜曲如分解ｓ（ｔ）＝岛（ｔ）＋岛（ｆ），其中岛（ｔ），岛（力分别定义为：岛（ｔ）：Ｕｏ＿＠１，ｔ＇坳．ｔ，ｔ，｝，呓）？，岛（ｔ）：砺一（０，ｏ，砰，遁）Ｔ，对于上述有界集Ｂ＝Ｂ１×岛，易知当ｔ＿ＯＯ时：ＦＢ（３２（ｔ））＝ｓｕｐＩ岛（ｔ）Ｕｏｌ≤兄ｌｅ一竹—・０．ＵｏＥＢ令嘶＝纂，Ｊ＝１，…，ｎ．Ｆｈ口｝，以的定义，嘶满足，Ｊ，等＝一仰－４－籍，【ｗｊ（ｏ）＝０．（３．２．１９）式两端乘以哟并在Ｑ上积分有：３．２～７（３．２．１８）（３．２．１９）ｉＩ磊ｄＪ哟１２＋，ｙＪ屿ｊ２＝厶磬嘶如≤引嘶１２＋刍矗ｌ罄１２如。即：磊ｄ削２刊蚶ｓ专Ｉ差１２－（３．２．２０）９，ｊ＝１相加到ｊ亍ｎ得：勃口Ⅻ２＋７ＩＩ椰≤扣１１１２．第２３页．共３７页（３１２．２０）（３．２．２１）｛：：｜二笾（……肿） 第三章含时滞的耦合Ｆｉｔｚ—Ｈｕｇｈ－Ｎａｇｕｍｏ系统的全局吸引子注意到ｖｌ（ｏ）＝０，由Ｏｒｏｎｗａｌｌ不等式，（３．２．２１）有：Ｉ｛ｖｌ｛１２≤Ｊ：：怕（ｓ）１１２ｅ一，（卜５）ｄｓ，＝Ｊ：｝０＋¨７№（ｓ）怿叫卜。）ｄｓ＋Ｅ褂，Ｉｌｕｌ（ｓ）怖叫ｈ）如，≤骘盟（Ｖｔ２ｏ）．其中：Ｇ＝刍【（１＋２（ｔｏ＋ｈ＋ｒ）ｌｃｌ）Ｒ＋（ｔｏ＋ｈ＋ｔ’）纠．同理可证：㈣１２≤半，（Ｖｔ≥ｏ）．（３．２．２２）由（３．２．１）、（３．２．２２）、（３．２．２３）知：对上述Ｂ有ＩＩｖｌｌ｛２＋｜』ｕ洲２一致有界．结合（３．２．１６）知＆（ｔ）在％×Ｈ中是一致紧的，则由引理（３．２．１）知ｓ（ｔ）在铅×Ｈ存在紧的，连通的全局吸引子∥．口注：特别的，若ｃ＝０，定理３．２．４仍然成立．即：系统（３．１．１）在日中存在着紧的连通的全局吸引子∥．所得结果和文【４４】的结果一致．第２４页’垃３７页Ｊ 第四章含时滞的部分耗散反应扩散方程的全局吸引子４．１基本知识本文考虑：ｆ鱼妒＝才ＡｕＣｔ，ｚ）一醌（ｔ，ｚ）＋，（地，ｔＪ），Ⅵ≥ｔｏ，ｚ∈Ｑ，警一Ｇ（掣）俨如，ｎ忱独蚝ｇ（４．１１）【ｕ（ｔ，ｚ）＝０，Ｖｔ２ｔｏ，ｏ∈ａＱ．（４．１．１）亥ｌＪ化了在具有有限时滞的Ｐｒｅｙ－－Ｐｒｅｄａｔｏｒ系统中，当引入的迁移项作用到被捕食者分量的情形【４６】，该系统是部分耗散的反应扩散方程．由于部分耗散的系统所对应的半群算子是非紧的．我们利用类似文【２５】的处理技巧将半群算子分解为两个：一个是渐近趋于零；另一个是一致紧．从而得到该方程拥有一个全局吸引子的条件．本文将涉及如下一些记号Ａ＝（％）。ｘ。，Ｂ＝（ｂｌｊ）。×。，则Ａ≥Ｂ（Ａ＞Ｂ）｛＝孛％２％（％＞％）．ｕｔ＝（札｝，…，缸ｒ１）：＝ｃＤｆ（也｛（ｓ，ｚ））∈ｅ其中Ⅱ｛（ｓ，ｚ）＝ｔ‘‘０＋ｓ，甸，ｚ∈Ｑ，ｓ∈【一ｒ’０】．Ｍ＋＝∞ｌ｛∥Ｉ），若让∈Ｃ，ｈ】，：＝ｃｏｌ｛｜硼，），其中ｌ《ｐ＝ｓｕｐＩｔ‘’０＋ｓ，ｘ）１．陋Ｊ日＝∞ｌ｛∥ｋ），若ｔ‘∈ｅ，ｋ伊＝００１｛心｜ｒ），其中Ｉ“ｍ＝ｓｕｐｆｕ４＠＋ｓ，ｘ）ｌＬ２．［ｕｌｙ＝ｃｏｌ｛ｌｔｕ＇ｌｌ｝，若ｕ∈Ｃ，ｋ】ｙ＝ｃｏｌ｛ｌｌｕｉｌｌ，｝，其中ＩＩ《卧一ｓｕｐＦ０＋ｓ，ｚ）１．一ｒ≤ｏ≤０ｃ＿＝Ｄ（［～ｒ＇ｏＪ，Ｌ２（ｎ）７７１１），ｃｋ在范数：缸｜ｒ＝（Ｍ≯，ｆｕＪ，Ｈ，。１下是Ｂａｎａｃｈ空间．ｃ、，＝ｃ（【－＿ｏ】，瑶（Ｑ）”，），Ｃｖ在范数：ｌＩ，，ＩＩ，＝（Ｍｙ，Ｍｙ）§下是Ｂａｎ如空第２５页，共３ｉ页｛ｌ＂（幻，ｏ）＝妒（￡），ｕ（ｔｏ＋ｓ，西＝≯扣，ｚ），一ｒ≤ｓ≤ｏ，ｚ∈Ｑ，、７ 第四章含时滞的部分耗散反应扩散方程的全局吸引子间．引理４．１．１【２】若Ｍ≥０且ｐ（Ｍ）＜１，则：（，一Ｍ）一１≥０，其中ｐ（Ｍ）表示方阵Ｍ的谱半径．４．２主要结果把（４．１．１）写成如下形式：ｆ丝警生＝啦Ａｕｉ（ｔ，ｚ）一６ｉ∥（￡，ｚ）十五（饥，ｕ），Ｖｔ≥ｔ０，ｚ∈Ｑ，、一。‘’【啦（￡，ｚ）＝ｏ，Ｖｔ≥￡ｏ，ｚ∈锄，其中：ｕ＝ｃｏｌ｛ｕ‘｝，口＝ｃｏｌ｛ｖ‘）；妒＝ｃｏｌ｛妒ｋ｝，咖＝ｃｏｌ｛毋ｄ；９＝ｃｏｌ｛ｇｋ｝，Ｇ＝ｄｉａｇ（Ｇｋ）；ｇｋ，Ｇｋ∈Ｃ２（－ＸＲ”－），，＝ｃｏｔ｛ｆ，｝，．＾∈Ｃ２（ｃ×Ｒｍｔ，瑕Ｐ）；才＝ｄｉａｇ（ａ１），Ｂ＝ｄｉａｇ（ｂ１）；啦＞０，ｂｌ之ｏ；ｍ＝ｍｌ＋ｍ２，ｉ＝１，…，ｍ１；七＝１，…，ｍ２．假设在空间日：＝Ｌ２（Ｑ，Ｄ）＝（（Ⅱｔ，可）：毗∈ＣＲ，口∈工２（Ｑ）”：）上解存在且唯一．则可以定义半群算：子［１６１－ｓ（ｔ）：（破妒）∈日－－－，－－．，Ｉ，（饥，＂）∈日．定理４．２．１：如果（４．２．１）满足：（１）存在氏＞０，使得：Ｇｋ（ｘ，ｕ）≥以，６＝ｍｉｎ｛６ｋｌｋ＝１，…，ｍ１），Ｖ（。，‰，ｕ）∈孬×日；（２）９有界，且Ｇ和夕的一阶和二阶偏导数在西ＸＨ上有界．设Ｃｋ＝ｓｕｐｌｇｋ（ｘ，仳）｝，Ｃａ＝ｓｕｐＩｇ（ｘ，ｕ）Ｉ；（３）（ｆ（ｕｔ，ｔ，）】＋≤Ａ陋ｄ｝＋Ｂ［＂】＋＋Ｐ＇Ａ＝（ｏ莳）。，。。。，Ｂ＝（玩ｋ）ｍｉｘ。心，Ｐ＝ｃｏｌ（鼽｝；（４）ｐ（Ｍ）＜１，Ｍ＝（ｍ巧）。。。。，，ｍｉｊ＝等，依＝嚣＋以，其中ｎ满足：厶”Ｊ２ｄｚ≤ｎ厶［Ｖｕｌ［２ｄｘ；则半群算子Ｓ（ｔ）存在一连通的全局吸引子∥，它吸引日中的任一有界集．为了证明定理我们需证明以下几个命题：命题４．２．１若（１）一（４）成立，则集合：＆＝｛（庐，Ｉｐ）∈ｎｌ［Ｏ］ｇ≤ａＫ，㈦日≤Ｑ己｝是９ｓ（ｔ）正不变集，其中：Ｑ≥１，为常数；ｋ＝爱￣／同；ｑｉ＝鼍乎；ｎ琅：警；毗＝ｇｉ＋ａ薹ｎ“＾；Ｋ：（Ｊ—Ｍ）一１Ⅳ；ｗ：ｃ。ｌ｛毗｝；Ｑ：ｃｏｌ｛ｑｉ｝；ｉ＝１，…，ｍｌ，ｋ＝１，・．．，ｍ２．第２６页．共３７页｛薏荫咖Ｕｉ（ｔ。ｏ二掣妊麓鼍如０咄∽２∞ｌ＂七（ｔｏ，ｚ）＝・Ｐ七（茁），＋ｓ，。）＝也（ｓ，ｚ），一，．≤ｓ≤，ｚ∈Ｑ， 第四章含时滞的部分耗散反应扩散方程的全局吸引子证（４．２．１）的第二式两边乘以扩，然后在Ｑ上积分有：Ｏｖ‘Ｆｈ（１）及（４）得：ＪｎＪｎ；矿ｄｋ咿２≤刊硼２。一上础，小ｕ‰≤一以∽２：＋ｃｋ俪∽，≤刊矾２：＋却２升袈．（４．２．２）则：ｋＩｖ＊１２。≤伽２ｅ－６一（ｔ－ｔｏ）＋掣（１－ｅ－６ｔ（ｔ－ｔ。）），Ｖｔ＞ｔｏ．ｌｉｍｓｕｐ］ｖ‘Ｉ弘≤ｋ．ｔ—＋∞（４．２．３）（４．２．４）（４．２．５）如果Ｉ‰ｌ工，≤口ｋ，则：Ｉｕ‘Ｉ弘≤Ｑｋ，Ｖ￡≥ｔｏ．（４．２．１）的第一式两边乘以ｕ‘，然后在ＱＩ－ｙ，ｙ子有：上筹。如＝Ｚｗ也一巩∽饥胁池；丢旧各≤一枷吧。＋Ｍ护（量。巧旧，＋霎‰旷Ｉ庐锄、／卿．不等式得：ｏｒＧｌ＝ｊＩｔ上ｉｌ工２２≤…；ｅ－２琅（ｔ—ｔｏ）＋２／ｅ．２祁１’依旧胪Ｉ∑佻ｊ旧，＋∑‰胪［Ｌ２＋ｑ１］ｄｓ．ｊ＝ｌｋ－－１（４．２．６）（４．２．７）（４．２．８）（４．２．９）不失一般性，我们假设Ｐ＞０，即Ｑ＞０，则ｗ＞０，又Ｍ≥０，ｐ（Ｍ）＜１，由引理４．１．１知：（Ｉ—Ｍ）－１＞０，故：Ｋ＝（Ｉ—Ｍ）－１Ｗ＞０．第２７页，共３７页ｆｊｎ面ｖｋｄｘ＝一／Ｇｋ（ｘ，ｕ）ｖ‘．ｖｋｄｘ一／ｇｋ（ｘ，ｔ‘）．ｖｋｄｘ．彬面ｄ怫≤２＜刊＿扩蝴１计２２＋掣掣．．ｌｌａｗｎ。‘ｏ 第四章含时滞的部分耗散反应扩散方程的全局吸引子现在我们证明当：［纠罗＜ａＫ时【ｕ】Ｈ＜ａＫ，Ｖｔ≥ｔｏ．假设不然，则一定存在ｉ，及ｔ１＞ｔｏ，使得：（４．２．１０）Ｉｕｉ（ｔｌ，ｘ）ｌＬ２＝ａｋｌ，Ｉｕ‘（ｔ，ｚ）ｆＬ２＜＆‰，Ｖｔ＜ｔ１，（４．２．１１）阻（￡，ｚ）】日≤ａＫ，Ｖｔｏ≤ｔ≤ｔ１．由（４．２．９）：Ｉｕ‘（ｔｌ，ｚ）ｆ２２＜ｎ２砰ｅ一２ｍ（ｔｔ－ｔｏ）＋卜２－ｉ（ｔｌ－ｓ）ｒＩｉｏｅｋ∑［ｆ∑ｍ巧乜磅＋Ｆｊ＝ｌｋ＝ｌ（４．２．１２）扭注意Ｋ＝（Ｉ—Ｍ）一１Ｗ＞０，即Ｋ＝肘Ｋ＋形，有：ｃｏｌ｛Ｎ‘（ｔ１，ｚ）１２２）＜ｃｔ２ｄｉａｇ｛ｅ－２ｍ（ｔｔ－ｔｏ）ｋｌ｝（ＭＫ＋Ｗ）＋ａｄｉａｇ｛ｋｉ—ｅ一２ｍ（‘１叫。）ｋｌ｝（ａＭＫ＋Ｗ１≤ｄｉａｇ｛ｋｉ｝ａ（ａＭＫ＋Ｗ）＋Ｑ（ａ一１）ｄｉａｇｆｋ‘｝Ⅳ＝ｄｉａｇ｛ｋｉ｝ａ２（ＭＫ＋Ｗ）＝Ｏｔ２Ｋ２．（４．２．１３）这和（４．２。１１）矛盾，因此结合（４．２．６）式知＆是正不变集．命Ｎ４．２．２若（１）一（４）成立，则集合：ｓ＝｛（妒，妒）∈ＨＩ［ｅｌＹ≤Ｋ，【纠日≤日是关于Ｓ（￡）的全局吸收集．证对任意的（≯，妒）∈Ｈ，ｊｏ≥１，使得（毋，妒）∈鼠．由命题１：阻（ｔ，圳日≤ａＫ，所以存在盯≥ｏ使得：ｌｉｒａｓｕｐ［ｕ］日＝盯．则对任意正数￡，存在ｔ２≥ｔｏ使得：ｍｔ】≯≤（盯＋ＥＥ），其中Ｅ＝【１，…，１，，ｔ≥ｔ２．（４．２．１４）由于琅＞０，因此对于上述￡和耳，一定存在Ｔ＞０，使得当ｔ≥Ｔ时：Ｑ２ｄｉａｇ｛ｅ一２啦（ｔ－ｔｏ’砰｝＋２／ｄｉａｇ｛ｅ一２啦８依）ｄｉａｇ｛口‰）（口朋’耳＋Ｗ）＜ｅＥ．（４．２．１５）则当ｔ≥Ｔ＋ｔ２时，从（４．２．９）式得：ｃｏｌ｛ｌｕ‘Ｉ：：）≤ｃｏｌ｛ｌ≯，ｌ；｝ｅ。２ｒｅ（ｔ－ｔｏ）第２８页，共３７页＋／２］ｉｑｋｌ；ｅ—妻＋磅＂ｍ。‘０ 第四章含时滞的部分耗散反应扩散方程的全局吸引子＋２｛ｆ～＋ｆＴ）ｄｉ鸲｛ｅ－２，Ｋ（ｔ－，）ｒ１１）ｄｉ删ｋ）（州ｓ肿＋Ⅳ）如≤ｅＥ＋ｄｉａｇ｛ｏ＇｛＋Ｅ｝ＩＭ（ａｉ＋￡Ｅ）＋ＷＩ．令￡一０，上式有：ｄｉａｇ｛ａｌ｝ａ≤ｄｉａｇ｛ａｉ｝（Ｍａ＋ｗ），仃≤（，一Ｍ）一１Ｗ＝皿故：ｌｉｍｓｕｐＭ盯≤Ｋ（４．２．１６）（４．２．１７）结合（４．２．５）知，存在乃，当ｔ≥乃时，总有：（饥，口）∈Ｓ，ＲＰＳ是全局吸收集．命题４．２．３令ｖ（ｔ，ｚ）＝＇０１（ｔ，ｚ）＋吨（ｔ，￥），其中ｕ１，＂０２分别是以下方程的解：鬻＋警Ⅱ’、！鲁＋Ｇ（训）’定义两个非线性算子：毋（￡）：（≯，妒）一ｈ，口１），岛（￡）：（以妒）一（０，忱）．则：（ａ）对任意有界集劈ＣＨ，ｒ曰（￡）＝ｓｕｐＩ岛（ｔ）ｘＩ工：一０，（ｔ—ｏｏ）．（ｂ）岛（ｔ）对充分大的ｔ是一致紧的．证明（ａ）（４．２．１９）两边乘以ｔＪ２（ｔ，ｚ），然后在Ｑ上积分，ｄａ（１）有：Ｉ主ｔＧｒｏｎｗａｌｌ不等式得：；五ｄ俐计２６蚓ｉ：≤ｏ．（４．２．２０）则：Ｉ忱Ｉ易≤Ｉ妒ｌ易ｅ一劝‘．彻（ｔ）＝ｓｕｐＩ岛（￡）ｘＩ驴一０，（ｔ—００）（ｂ）（４．２．１）的第一式两边乘以△ｕ‘，然后在Ｑ上积分有：护”纛：尝尊怕・‘（４．２．２１）（４．２．２２）＠２２３’｛【Ｖｌ（ｔＯ，ｚ）＝０，）ｖｌ＋ｇ（毛垆０＇（４＿２．１８）。‘【ｖ２（ｔｏ，ｚ）＝妒（ｚ），忱２ｏ，（４．２．１９） 第四章含时滞的部分耗散反应扩散方程的全局吸引子其中：伤＝去（ｍ，口２蚤ｍｌ吗碍＋啦ａ２ｋ登＝ｌ壤瑶＋癣Ｈ）．，ｍｔｍ２、由（４．２．７），令Ｇ＝ｏ‰（ｍｌａ２∑叼白＋ｍ２０ｌ∑‰ｋ＋鼽蚓），得：；五ａ…ｉ２己：≤飞㈣２＋Ｇ上式在ｔ到￡＋＾间积分（九＞ｒ，为固定常数），若（庐，妒）∈卢ｃ瓯，则有，／。ｔｔ＋ｈＩＩ群ＩＩｄｓ≤警＋芸：哦Ｖｔ＞７＇１．对（４，２．２３）应用一致ＧｒｏｎｗａＪｌ不等式，（≯，妒）∈留ｃ＆，则：Ｉｌｕ＇１１２≤鲁＋慨ｔ≥正“（４．２．２４）两边在ｔｏ到￡间积分：（４．２．２４）（４．２．２５）（４．２．２６）Ｚ。№钏２ｄｓ＜＿１ｃ３（ｔ－『＿ｏ）ｔａｉ“‘（４．２．２７）对留ｌ（￡，ｚ）进行一致时间估计有：ｈ∽灿㈤≤等，ｔ独（４．２．２８）事实上；Ｖ口＞２，（４．２．１８）乘以ｌｖｌｒ２ｔ，１，在Ｑ上积分，由（１）及（２）得：：爰加４缸＋；小１４ｄｚ＜Ｃｄ办悱，帕㈣≤（孕）。，其中：Ｇ（ｇ）＝；研ＪＱＪ『毪产１Ｐ１．令口一ｏｏ，可得（４．２．２萄成立ｊ现对ｌｌｖｔ（ｔ，ｚ）ｉＩ作估计：令％＝罄，ｊ＝１，…，几．则有： 等＋刚叩她＋酉ＯＧａ口，＋喜筹・霈＂－＋罄＋喜．＝型Ｏｘｉ・砒Ｏｇ＿＿２；＝叫４２２９，由（２）和（４．２．２８）知：馨＂１，静ｕ１，罄，罄０＝１，－一，ｎ；ｉ＝１，…，ｍ１）有界．第３０页拱３７页≤—２Ｃ３（ｔ－ｔ—ｏ）＋ａ２ｋ；．叫＋去Ｚｔ０２翱枷ｓ‘叫ＪＪ 第四章含时滞的部分耗散反应扩散方程的全局吸引子（４．２．２９）两边乘以％，在Ｑ上积分有：驴ｄ∽２删２：≤孕（Ｈ＋［吖Ｏｕ２ｚ）．Ｈ２删上式Ｊ从１加到ｎ，由（４．２．２７）及（４．２．２８）得：扣胪怖，１１２≤（警ｍＩ－孕－ＩＩ们ＩＩ．＠２叫由ＧｒｏＩｌｗａＪｌ不等式，结合Ｖｌ（ｔｏ，。）＝ｏ，（４．２．２６）及（４．２．２７）有：№州２≤警ＩＱｌ＋一２Ｃ。厶ｃＴ＇＋ｈ十厶Ｃｔ∥｝１１酽ｅ叫州）ｄｓ‘≤Ｇ．（４．２．３２）由命题４．２。２，（４．２．２６），（４．２．２８）２及（４．２．３２）易知：ｓｍ（ｔ）是一致紧算子．（见Ｍ．Ｍａｒｉｏｎ［２５］）定理的证明：由命题４．２．１－４．２．３及定理知，定理４．２．１成立．第３１页，共３７页 参考文献【１】Ｐｏｉｎｃａｒ４Ｈ．Ｓｕｒｌｅｓｓｅｑｕａｔｉｏｎｓｄｅｌａｄｙｎａｍｉｑｕｅｅｔｐｒｏｂｌｅｍｄｅｓｔｒｏｉｃｃｒｏｐｓ【Ｊ】＇Ａｃｔａ．Ｍａｔｈ．Ｂ（１９８０）１—２７０．【２】２ＬａｓａｌｌｅＪＰ．ＴｈｅＳｔａｂｉｌｉｔｙｏｆＤｙｎａｍｉｃａｌＳｙｓｔｅｍ［Ｍ］．ＳＩＡＭ．ｐｈｉｌａｄｅｐｈｉａ，１９７６．【３】徐道义．关于稳定性的几个基本定理［Ｊ】．数学季刊１９９２，７，２：６１．６７．【４】廖晓听．动力系统的稳定性理论和应用【Ｍ】．北京国防工业出版社，２０００．【５】郭柏灵．无穷维动力系统【Ｍ］．北京：国防工业出版社，２０００．【６】ＴｅｍａｍＲ．Ｉｎｆｉｎｉｔｅ－ＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＤｙｎａｍｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓｉｎＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９９７．【７】ＢａｂｉｎＡＶ，ＶｉｎｓｈｉｋＭＩ．Ａｔｔｒａｃｔｏｓｏｆｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｅｓｔｉ－ｍａｔｅｓｏｆｔｈｅｉｒｄｉｍｅｎｓｉｏｎ［Ｊ］．ＲｕｓｓｉａｎＭａｔｈ．Ｓｕｒｖｅｙｓ，１９８３，３８：１５１—２１３．【８］ＢａｂｉｎＡＶ，ＶｉｎｓｈｉｋＭＩ．Ｒｅｇｕｌａｒａｔｔｒａｃｔｏｒｓｏｆｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓａｎｄｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ｐｕｒｅｓ．Ａｐｐｌ．，１９８３，６２：４４１—４９１．［９】ＣｈｅｐｙｚｈｏｖＶＶ，ＶｉｓｈｉｋＭＩ．Ａｔｔｒａｃｔｏｒｓｏｆｎｏｎ－ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓｄｙｎａｍｉｃａｌｓｙｓ－ｔｅｍｓａｎｄｔｈｅｉｒｄｉｍｅｎｓｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ．Ｍａｔｈ．ＰｕｒｅｓＡｐｐｌ．，１９９４，７３：２７９．３３３．［１０】ＧｕｏＢｏｌｉｎｇ．ＩｎｅｒｔｉａｌｍａｎｉｆｏｌｄｓｆｏｒｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＫｕｒａｍｏｔｏ－Ｓｉｖａｓｈｉｎｓｋｙｔｙｐｅｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ｓｔｕｄｙ，１９９５，２８（３）：５０－６２．【１１】ＦｒｉｅｓｅｃｋｅＧ．Ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙｇｒｏｗｉｎｇｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒａｄｅｌａｙ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｎｅｇａｔｉｖｅｆｅｅｄｂａｃｋ［Ｊ］．Ｊ．Ｄｉｆｆ．Ｅｑｕｓ．，９８，１９９２，ｌ・１８．【１２］ＬｅｉＹ．ＴｈｅＨｏｐｂｉｆｕｃａｔｉｏｎｆｏｒａＩｌａｎｂｓｔｒａｃｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］，Ｊ．ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，１９９０，３：２４－３８．ｆ１３】ＭａｒｔｉｎＲＨ，ＳｍｉｔｈＨＬ．Ａｂｓｔｒａｃｔｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｒｅａｃｔｉｏｎ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓ．Ａｍｅｒ．Ｓｏｃ．，３２１，１９９０，１—４４．【１４］ＲｕａｎＳＧ，ＷｕＪ．Ｒｅａｃｔｉｏｎ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｉｎｆｉｎｉｔｅｄｅｌａｙ［Ｊ］．Ｃａｎａｄ．Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ．Ｑｕａｒｔ．，１９９４，２：４８５—５５０．（１５】ＨａｌｅＪＫ．Ｔｈｅｏｒｙｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，２００３．第３２页，共３７页 参考文献ｆ１６１ＷｕＪ．ＴｈｅｏｒｙａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＰａｒｔｉａｌＦｕｎｃｔｉｏｎａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａ－ｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９９６．【１７１ＬｉｎＸ，ＳｏＪ，ＷｕＪ．Ｃｅｎｔｅｒｍａｎｉｆｏｌｄｆｏｒｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｄｅｌａｙ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ．Ｒｏｙ．Ｓｏｅ．ＥｄｉｎｂｕｒｇｈＡ，１９９２，１２２：２３７－２５４．【１８］ＢｏｎｉｌｌａＬＬ，ＬｉａｎａＡ．Ｒｅｌａｘａｔｉｏｎｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ，ｐｕｌｓｅｓ，ａｎｄｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｉｎｔｈｅｄｉｆｆｕｓｉｖｅｖｏｌｔｅｒｒａｄｅｌａｙ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭＪ．Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ一１９８４．４４：３６９－３９１．ｆｌ９】邓瑾．非线性泛函微分方程和偏泛函微分方程解的长时间性态【Ｄ】．ｔ四／１１大学，２００５．【２０］ＣａｒａｂａｌｌｏＴ，ＬａｎｇａＪＡ，ＲｏｂｉｎｓｏｎＪＣ．Ａｔｔｒａｃｔｏｒｓｆｏｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｖａｒｉａｂｌｅｄｅｌａｙｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．Ａｐｐｌ．，２００１，２６０：４２１－４３８．【２１】ＣａｒａｂａｌｌｏＴ，ＲｅａｌＪ．Ａｔｔｒａｃｔｏｒｓｆｏｒ２Ｄ—Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓｍｏｄｅｌｓｗｉｔｈｄｅｌａｙｓ［Ｊ］．Ｊ．ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，２００４，２０５：２７１－２９７．【２２】韩天勇．时滞２Ｄ—Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程的全局吸引子［Ｊ１．四川师范大学学报（自然科学版），２００６，２９（３）：２５７－２６１．【２３】叶其孝，李正元．反应扩散方程引论【Ｍ】．北京：科学出版社，１９９９．【２４］ＭａｒｉｏｎＭ．Ａｔｔｒａｃｔｏｒｓｆｏｒｒｅａｃｔｉｏｎ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ：ｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｅｓｔｉｍａｔｅｏｆｔｈｅｉｒｄｉｍｅｎｓｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐｌ．Ａｎａｌ，１９８７，２５：１０１－１４７．【２５］ＭａｒｉｏｎＭ．Ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌａｔｔｒａｃｔｏｒａｓｓｏｃｉａｔｅｄｗｉｔｈｐａｒｔｌｙｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅｒｅａｃｔｉｏｎ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭＪ．Ｍａｔｈ．Ａｎ以，１９８９，２０：８１６－－８４４．【２６１ＭｅｒｉｎｏＳ．Ｏｎｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｔｈｅｃｏｍｐａｃｔｇｌｏｂａｌａｔｔｒａｃｔｏｒｆｏｒｓｅｍｉ－ｌｉｎｅａｒｒｅａｃｔｉｏｎｄｉｆｆｕｓｉｏｎｓｙｓｔｅｍｓｏｎｊ妒【Ｊ１．Ｊ．Ｄｉｆｆ．Ｅｑｕｓ．，１９９６，１３２：８７－１０６．【２７］ＷａｎｇＢＸ．Ａｔｔｒａｃｔｏｒｓｆｏｒｒｅａｃｔｉｏｎ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｕｎｂｏｕｎｄｅｄｄｏ－ ｍａｉｎｓ［Ｊ］．Ｐｈ）ｒｓｉｃａＤ，１９９９，１２８：４１—５２．ｆ２８１ＢｅｒｎａｌＡＲ，ＷａｎｇＢＸ．Ａｔｔｒａｃｔｏｒｓｆｏｒｐａｒｔｌｙｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅｒｅａｃｔｉｏｎｄｉｆｆｕｓｉｏｎｓｙｓｔｅｍｓｉｎ彤，Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．Ａｐｐｌ，２０００，２５２：７９０－８０３．【２９】ＸｕＤａｏｙｉ．Ｇｌｏｂａｌａｔｔｒａｃｔｏｒｏｆｒｅａｃｔｉｏｎ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｅｌａｙｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ．Ｉｎｔ．Ｄｉｆｆ．Ｅｑｓ．Ｃｏｍｐ．ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｗｏｒｌｄｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ，２０００：３１７－３７７．【３０］ＷａｎｇＬｉｎｓｈａｎ，ＸｕＤａｏｙｉ．Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｏｆａｃｌａｓｓｏｆｒｅａｃｔｉｏｎ－第３３页，共３７页 参考文献ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｅｌａｙｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．Ａｐｐｌ．，２００３，２８１：４３９・４５３．［３１］黄建华．一类时滞反应扩散方程的整体吸引子【Ｊ】．应用数学，２００６，１９（３）：４７３－４７８．［３２】ＢｏｕｔｅｔｄｅＭｏｎｖｅｌＬ，ＣｈｕｅｓｈｏｖＩＤ，Ｒｅｚｏｕｎｅｎｋｏ．Ｉｎｅｒｔｉａｌｍａｎｉｆｏｌｄｓｆｏｒｒｅ－ｔａｒｄｅｄｓｅｍｉｌｉｎｅａｒｐａｒａｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＡｎａｌｙｓｉｓ，１９９８，３４：９０７－９２５．［３３】黄建华．一类时滞格动力系统的整体吸引子［Ｊ】．应用数学，２００６，１９（２）：４３３－４３９．［３４］ＡｄａｍｓＲＡ．Ｓｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ－ＳａｎＦｒａｎｃｉｓｃｏ－Ｌｏｎｄｏｎ：ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ，１９７５．【３５】ＧｏｐａｌｓａｍＫ，ＫｕｌｅｎｏｖｉｃＫａｎｄＬａｄａＧ．Ｔｉｍｅｌａｇｓｉｎ８”ｆｏｏｄ—ｌｉｍｉｔｅｄ＇’ｐｏｐ－ｕｌａｔｉｏｎｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ａｐｐｌ．Ａｎａｌ．，１９８８，３１：２２５—２３７．［３６】丁崇文．生态学中一类具时滞反应扩散方程组【Ｊ】．生物数学学报，１９９４，９（５）：４９・５６．［３７】丁崇文．生态学中一类具时滞反应扩散方程组解的性质［Ｊ】．生物数学学报，１９９６，ｎ（３）：ＯＳ－１０４．［３８】ＴａｎｉｇｕｃｈｉＴ．ＴｈｅｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｂｅｈａｖｉｏｒｏｆＮａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｅ－ｌａｙｅｘｔｅｒｎａｌｆｏｒｃｅ［Ｊ］．Ｄｉｓｃ．ａｎｄＣｏｎｔ．ＤｙｎａｍｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓ，２００５，１２（５）：９９７－１０１８．［３９】Ｒ且ｕｃｌｌＪ，ＳｍｏｌｌｅｒＪ．ＱｕａｌｉｔａｔｉｖｅｔｈｅｏｒｙｏｆｔｈｅＦｉｔｚ—Ｈｕｇｈ－Ｎａｇｕｍｏｅｑｕａ－ｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｄｖ．ｉｎＭａｔｈ，１９８７，２７（１）：１２－４４．［４０】吴建华，具有饱和的Ｐｒｅ－Ｐｒｅｄａｔｏｒ模型的长时间行为【Ｊ】．应用数学学报，１９９８，２ｌ（４）：２２４－２３２．【４１】ＫｅｅｎｅｒＪ，Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｄｅｐｅｎｄｅｎｔｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇｏｆｐａｒａｌｌｅｌｅｘｃｉｔａｂｌｅｆｉｂｅｒｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭＪ．Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ．，１９８９，４９（１）：２１０－２３０． ［４２１Ｃｏｎｌｅｙｃ，ＳｍｏｌｌｅｒＪ．ＢｉｆｕｒｃａｔｉｏｎａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｓｔａｉｏｎａｒｙｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅＦＨＮｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＡｐｐｌＡｎａｌ．，１９８６，６３：３８９－４０５．［４３】ＢｏｓｅＡ，ＪｏｎｅｓＣ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｉｎ－ｐｈａｓｅｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｉｎａｐａｉｒｏｆｃｏｕｐｌｅｄｎｅｒｖｅｆｉｂｅｒｓ［Ｊ］．ＩｎｄｉａｎａＵｎｉｖ．Ｍａｔｈ．Ｊｏｕｒ．，１９９５，４４（１）：１８９－２２０．第３４页，共３７页 参考文献【４４】吴建华．具有耦合的Ｆｉｔｚ－Ｈｕｇｈ－Ｎａｇｕｍｏ方程组的整体吸引子和其维数估计【Ｊ】．西安交通大学学报（自然科学版）．１９９８，３２（２）：７垂７７．【４５】袁国勇等．两个延迟耦合的Ｆｉｔｚ－Ｈｕｇｈ・Ｎａｇｕｍｏ系统的动力学行为［Ｊ】．物理学报，２００５，５４（０４），１５１０－１５２２．［４６１ＭａｃｄｏｎａｌｄＮ．ＴｉｍｅＬａｇｓｉｎＢｉｏｌｏｇｉｃａｌＭｏｄｅｌ［Ｍ］．ＬｅｃｔｕｒｅＮｏｔｅｉｎＢｉｏｍａｔｈ，１９７８．２７．第３５页，共３７页 致谢值此毕业论文完成之际，衷心感谢我的导师李树勇教授在三年来一直给予作者在学习、学术上的帮助和指导，使作者增长了知识的同时也积累了不少学习、研究的经验，更培养了作者在科研和学习上的独立自主能力．李老师严谨的治学精神，渊博的知识，深厚的数学功底和他对学术研究的认真精神都使作者对从事数学研究工作有了更加深刻的认识，对作者今后的学习、教学工作和科研都有极大的帮助，使作者受益非浅，在此作者表示衷心的感谢！三年来张健教授、蒲志林教授、周吉教授、周小平、陈光淦、杨治国等老师和数学与软件科学学院领导给予作者无私的教诲和大力支持．在此，一并表示我最真挚的感谢．与同窗学友以及师兄、师弟共同求学的日子是一段美好的岁月，学习上的互相帮助，生活上的彼此关心．室友及同学们与作者的很多有益的讨论．正是他们对作者的支持和鼓励，才使作者顺利完成学业！第３６页，共３７页