2014届高三数学一轮复习 （教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）专讲专练 7.7　数学归纳法

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1、2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：7.7　数学归纳法一、选择题1．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某学生采用数学归纳法证明过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法(　　)A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．答案：

2、D2．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2B．1＋3＋5＋…＋(2k＋3)＝(k＋2)2C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2D．1＋3＋5＋…＋(2k＋3)＝(k＋3)2解析：∵n＝k＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＋(2k＋3)＝(k＋1)2＋(2k＋3)＝(k＋2)2.答案：B3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立．现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)

3、A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝4时，该命题成立解析：因为当n＝k时命题成立可推出n＝k＋1时成立，所以n＝5时命题不成立，则n＝4时命题也一定不成立．答案：C4．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为(　　)A．a＝，b＝c＝　　　B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c解析：∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立．即整理得解得a＝，b＝c＝.答案：A5．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2

4、，a3，a4，猜想an的表达式为(　　)A.B.C.D.解析：由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2.∴a2＝＝，S3＝3(2×3－1)a3，即＋＋a3＝15a3.∴a3＝＝，同理可得a4＝.答案：C6．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是(　　)A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(

5、4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．C显然错误．对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立．答案：D二、填空题7．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系是__________．解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案：f(k＋1)＝f(k)

6、＋(2k＋1)2＋(2k＋2)28．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和)，则S2，S3，S4分别为__________，由此猜想Sn＝__________.解析：由Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，得2Sn＋1＝Sn＋2S1，∵S1＝a1＝1，∴2Sn＋1＝Sn＋2.令n＝1，则2S2＝S1＋2＝1＋2＝3，∴S2＝.同理，分别令n＝2，n＝3，可求得S3＝，S4＝.由S1＝1＝，S2＝＝，S3＝＝，S4＝＝，猜想Sn＝.答案：，，　9．下面三个判断中，正确的是__________．①f(n)＝1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)，当

7、n＝1时，f(n)＝1；②f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，当n＝1时，f(n)＝1＋＋；③f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋.解析：①中n＝1时，f(n)＝f(1)＝1＋k不一定等于1，故①不正确；②中n＝1时，f(1)＝1＋＋，故②正确；③中f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－，故③不正确．答案：②三、解答题10．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝sin(n∈N*)，求证：0＜