《高中数学：微积分基本定理应用-吕建国》进阶练习 (二)

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1、《高中数学：微积分基本定理应用-吕建国》进阶练习一、选择题1.=（　　）A.     B.2e     C.     D.2.已知f（x）=，则的值为（　　）A. B.- C.- D.3.定积分表示（　　）A.单位圆面积的一半        B.以1为半径的球的表面积的一半C.以1为半径的球的体积的一半    D.以1为半径的球的体积二、解答题4.计算(1)求积分值：(3x2+4x3)dx(2)求函数y=+的导数．5.已知函数f(x)=gx-x(g为自然对数的底数)．(1)求f(x)的最小值；(2)设不等式f(x)＞ax的解集为P，若M={x

2、}，且M

3、∩P≠∅，求实数a的取值范围；(3)已知n∈N+，且S，是否存在等差数列{an}和首项为f(1)公比大于0的等比数列{bn}，使得？若存在，请求出数列{an}，{bn}的通项公式．若不存在，请说明理由．参考答案【参考答案】1.D    2.D    3.C    4.解：(1)(3x2+4x3)dx=3x2dx+4x3dx=x3

4、+x4

5、=24．(2)y=+==，∴y′=()′==．5.解：(1)由题意可得f′(x)=gx-1，令gx-1=0，可得x=0，并且当x∈(-∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(0，+∞)时，f′(x)＞0，

6、f(x)单调递增；故在x=0处，函数f(x)取到唯一的极小值也是最小值f(0)=1(2)由题意可得：不等式f(x)＞ax即为(a+1)x＜gx，若M={x

7、}，且M∩P≠∅，则a+1在[，2]的最大值，令F(x)=，x∈[，2]，则F′(x)==0，解得x=1，且当x∈(，1)，时，F′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，2)时，F′(x)＞0，f(x)单调递增，故F(x)在x=1处取到极小值，也是最小值e，F()=2，F(2)=，而且2＜，故最大值为，即a+1，故a-1(3)S=(gx-x)=(gn-n)-(g0-0)=gn-n-1，不妨取an

8、=-1，bn=(g-1)gn-1，则有=a1+a2+…+an+b1+b2+…+bn=-n+=gn-n-1，故满足题意．【解析】1.解：（ex-e-x）′=ex+e-x∴∫01（ex+e-x）dx=（ex-e-x）

9、01=e--1+1=e-．故选D．先求出被积函数ex+e-x的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可．本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题．2.解：==+=．故选D．利用分段函数的意义和微积分基本定理即可得出．熟练掌握分段函数的意义和微积分基本定理是解题的关键．3.解：根据积分的几何意义可知，表示由

10、y=f（x），x=a，x=b所围成的区域绕x轴旋转的几何体的体积∴表示y=与x轴，x=0，x=1所围成的图象的面积绕x轴旋转的几何体的体积∴定积分表示以1为半径的球的体积的一半故选C．根据积分的几何意义可知，表示由y=f（x），x=a，x=b所围成的区域绕x轴旋转的几何体的体积，可求本题主要考查了定积分的简单应用，解题的关键是明确目标函数的几何意义，属于积分中的基础题．4.(1)求出被积函数3x2+4x3的原函数，将积分的上限、下限代入求值．(2)先对原函数式通分化简，再利用初等函数的求导法则求解即可．5.(1)由导数法先求极值，即可得最值；(2)把问

11、题转化为求函数F(x)=，x∈[，2]的最大值的问题，由导数法可得答案；(3)结合等差数列和等比数列的和的特点，根据定积分所得的值，可得数列{an}，{bn}的通项公式．