2020年初升高数学衔接专题09 三角形（解析版）.doc

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1、初高中天衣无缝衔接教程（2020版）专题09三角形本专题在初中、高中扮演的角色三角形的“四心”有着明显的几何特征，这些几何特征与高中很多知识都有交汇，所以要熟练掌握它们的概念，理解对应的几何意义，为高中“四心”知识的综合奠定基础.1.四心的地位所谓三角形的“四心”，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心、外心、垂心与重心，其中，外心与内心在初中课本中分别作出了叙述和介绍，而垂心与重心这两个概念是在高中加强的.在高中后续学习向量、立体几何、解析几何等内容时，垂心、重心、内心、

2、外心都是不可缺少的知识点，在高考试卷中也屡屡出现，所以要清楚它们的基本概念，在三角形中用尺规作图的方法能够找到这四心，也就是要熟悉它们的几何特征，正三角形四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.2.四心的概念与常用性质内心：三角形的三个内角的角平分线的交点，该点为三角形内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离相等；垂心：三角形的三条高的交点；通过作图可知锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外，该点分每条高线的两部分乘积相等；重心：三角形的三条

3、中线的交点，该点到顶点的距离为到对边中点距离的2倍；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点，该交点为三角形外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等.四心在高中阶段具有代数与几何的双重身份，需要给这四心的几何特征以代数形式，数形结合，以形助数，以数解形.高中必备知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交

4、于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.典型考题【

5、典型例题】如图，在⊙O中，AB是的直径，PA与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，且PC＝PA，（1）求证PC是⊙O的切线；（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝PA＝2，①求图中阴影部分面积；②连接AC，若△PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为．【答案】（1）详见解析；（2）①S阴影＝．②．【解析】（1）证明：连接OC､OP，∵点C在⊙O上，∴OC为半径．∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA．∴∠PAO＝90°．∵OC＝OA，OP＝OP，PC＝PA，∴△PCO≌△PAO．∴∠PCO＝∠P

6、AO＝90°．∴PC⊥OC．∴PC是⊙O的切线．（2）①作CM⊥AP于点M，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝，∠CEA＝90°．∴四边形CMAE是矩形．∴AM＝．∴PM＝AM．∴PC＝AC．∵PC＝PA，∴△PCA是等边三角形．∴∠PAC＝60°．∴∠CAB＝30°．∴∠COE＝60°．∴∠COD＝120°．在Rt△COE中，sin60°＝，∴OC＝2．∴S阴影＝π－．②∵AP=2,AH=CE=∴CH=AH=3又∵I为正△PAC的内心∴CI=CH=2∴IE=== 【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2．∠A

7、DC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。【答案】（1）见解析；

8、（2）①外心P一定落在直线DB上，见解析；②为定值，.【解析】（1）证明：如图I，分别连接OE、0F∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．∠ADO=∠ADC=×60°=30°，又∵E、F分别为DC、CB中点∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，∴0E=OF=OA，∴点O即为△AEF的外心，（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上，证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P