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时间：2022-01-09
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1、柯西—黎曼方程张宏浩2021/10/262可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。xyz复数复变函数f(z)：z沿任一曲线逼近零。柯西—黎曼方程（复变函数可导必要条件）0实数实变数f(x)：x沿实轴逼近零。因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。2021/10/263z沿实轴→0,y0设f(z)在z点可导.下面分析z分别沿平行于实轴（y0）和平行于虚轴（x0）趋于零的特殊情况：2021/10/264柯西—黎曼方程或C-R条件由于f(z)在z点可导，要求沿不同方向的极限相等可导必要条件z沿虚轴→,x02021/10/265可导的充分条件
2、是:f(z)=u+iv的u,v偏导数存在，连续且满足柯西—黎曼方程。证：由于偏导数连续，则二元函数u和v的增量可分别写为随着则复变函数可导的充分条件：2021/10/266柯西—黎曼方程这一极限是与的方式无关的有限值2021/10/267解析函数的概念若函数f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数说明：1.解析与可导不等价函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然但是在区域B内解析的函数则解析与可导等价.解析函数例：函数只在z=0点可导，因而在复平面上处处不解析2021/10
3、/2682.称函数的不解析点为奇点f(z)在点z0无定义或无确定值；f(z)在点z0不连续；f(z)在点z0不可导；f(z)在点z0可导,但找不到在其内处处可导的邻域3.解析函数的充分必要条件设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内解析当且仅当：(1)实部和虚部在B内可导；(2)实部和虚部在B内每一点满足柯西—黎曼条件2021/10/269例判断下列函数在何处可导,在何处解析:[解]（1）因为u=x,v=-y,可知柯西-黎曼方程不满足,所以w=z在复平面内处处不可导,处处不解析（2）因为u=excosy,v=exsiny,2021/10/2610柯西-
4、黎曼方程成立,由于上面四个偏导数都是连续的,所以f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且根据(1.2.4)式有f'(z)=ex(cosy+isiny)=f(z)这个函数就是指数函数ez.(3)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以容易看出,这四个偏导数处处连续,但仅当x=y=0时,它们才满足柯西-黎曼方程,因而函数仅在z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析.
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