专题06 函数与导数的综合应用-2018年高考数学考前回归课本之典型考点练习指导 word版含解析

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1、专题六函数与导数的综合应用【高考考点再现】函数与导数在高考考查中一般是两道选择题和一道解答题，或者一道选择题一道填空题和一道解答题，共3道题，分值为22分．高考对这一部分内容考查的难度相对稳定，其中一选择题为容易题为中等难度题，一选择题或填空题为难题，一解答题为难题．选择题一般位于中间四道题和后三道题的位置，填空题一般在后两题的位置，解答题稳定在第21题的位置．选择、填空题主要考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的运用，函数零点的判断，简单的函数建模，导数的几何意义的运用等；解答题主要考查导数在函数问题中的综合运

2、用，重点是利用导数的方法研究函数的单调性和极值，解决与函数的单调性、极值、最值相关的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模的能力，突出了对学生的逻辑推理能力、运算求解能力、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想的考查．下面对专题的典型考点进行分析。【典型考点分析】【名师点评】导数是研究函数的工具，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间，把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型，三角型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商成为命题的对象，试题往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，

3、方程的根，函数零点，参数的范围等问题，这类题难度大，综合性强．解题中需要用到函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、转化与化归思想，利用“设而不求”、“先猜后证”、“放缩法（如，，，等）”、“构造法”等手段，解决恒成立求参、函数零点、不等式证明、带量词的命题等热点问题．例1．（2014新课标Ⅰ卷理21）设函数，曲线在点处的切线为．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）证明：．27【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，，由题意可得，，故，；当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增．所以．下面证明：当时，．令，，则，故在上递增，所以，命题得证．解法二：不等式（）等价于不等式（），易证，，证明如下：设，则，令，则

4、；当时，，故在上递减；当时，，故在上递增．所以，，所以，即27，（当且仅当时取等号）．由可得，于是（），所以只需证明（）．设（），则下面证明，求导得．当时，，故在上递减；当时，，故在上递增．所以，故，即（）（当且仅当时取等号）．又（）（当且仅当时取等号），并且上面两个不等式的等号不能同时取到，所以（），命题得证．解法四：不等式（）等价于不等式（）．27设（），则．当时，，故在上递减；当时，，故在上递增．所以，故（当且仅当时取等号）．设（），则．当时，，故在上递增；当时，，故在上递减．所以，故（当且仅当时取等号）．又因为上面两个不等式的等号不能同时取到，所以（），命题得证．【名师点评】本题主要

5、考查导数公式、导数的几何意义、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查了函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想．解题的关键是：函数的零点的设而不求，也可通过不等式放缩转化为熟悉的函数模型。要打破常规思路，运用所学知识，寻找合理的解题策略，对推理论证能力都提出了较高要求，突出选拔功能．例2．（2011新课标卷理21）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为，所以由题意可得，，即27，解得，；（Ⅱ）解法一：当，且时，成立，即当，且时，恒成立．构造函数，只需函数的最小值大于0即可．而当时，；当时，，故当时，

6、只要求出成立时的取值范围即可；当时，只要求出成立时的取值范围即可．构造函数（），因为，故当时，，即在上单调递减，即，成立；同理，当时，，即在上单调递增，即，成立．所以，对任意的，且成立．此时，对于任意的，且成立．于是，即．此时得出的的范围是充分条件，因此还要考虑时是否也有满足题意的范围．27这时我们的研究对象就集中到了的分子的上面．设，当，即时，的图象开口向下，对称轴为，，所以当，，即，函数在单调递增，所以，即，与题设矛盾；当时，可直接观察到对于任意的，，故当时，，即，与题设矛盾．综上所述，的取值范围为．【名师点评】本题主要考查导数的概念，函数的单调性，导数与切线的关系等基础知识，并利用导数

7、研究函数单调性、最值等，由不等式恒成立求参数的取值范围；考查运算求解能力，推理论证能力；考查分类与整合思想、转化与化归思想、函数与方程思想等．解题的关键是对参数的取值进行分类讨论，采用先猜后证的思路可以有效地降低题目的难度，而分离参数法亦是解决恒成立问题的常用方法．例3．（2014福建卷理21）已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为．（Ⅰ）求的值及函数的极值；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）证明