《工程弹塑性力学》ppt课件

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工程弹塑性力学(有限元、塑性力学部分)演示稿 第0章平面问题的有限单元法0.1概述、基本量及基本方程的矩阵表示0.2有限单元法的概念0.3位移模式与解答的收敛性0.4单元刚度矩阵0.5等效结点荷载0.6整体刚度矩阵0.7单元划分应注意的问题 0.1概述、基本量及基本方程的矩阵表示弹性力学问题的求解方法：解析方法：函数解、级数解——少数简单问题数值方法：有限单元法的发展概况1956年提出1960-70年代理论基础研究1960至今：实际工程应用、复杂问题理论研究通用有限元软件：SAP、ADINA、NASTRANANSYS、ABAQUS等差分法、变分法有限单元法：适应性强，概念直观 基本量及基本方程的矩阵表示1.基本量：2.基本方程： 3.虚功方程：外力虚功=内力虚功在集中力{F}作用下，虚功方程简化为{F}=[U1V1U2V2…UnVn]T为结点力向量；{d}=[u1v1u2v2…unvn]T为结点位移向量。 0.2有限单元法的概念1.离散化划分为有限数目、有限大小的单元。平面问题的常用单元：rg连续体三结点三角形单元六结点三角形单元矩形单元任意四边形单元8结点曲边四边形单元 2.单元分析建立：{F}e=[k]{d}e[k]：单元刚度矩阵单元结点力向量{F}e=[UiViUjVjUmVm]T单元结点位移向量{d}e=[uiviujvjumvm]T体力、面力——等效结点荷载3.整体分析建立：{F}=[K]{d}，[K]：整体刚度矩阵由各结点平衡{F}={R}，得有限元方程：[K]{d}={R}静力等效yui,(Ui)ixvi,(Vi)ujjvjummvm 0.3位移模式与解答的收敛性1.什么是位移模式（位移函数）利用单元的结点位移将整个单元的位移分量表示为坐标的函数。2.三结点三角形单元的位移模式设：u=a1+a2x+a3yv=a4+a5x+a6y系数a1~a6由结点位移ui,vi,uj,vj,um,vm确定。yxPijm 将位移模式写成结点位移的显式：u=Niui+Njuj+Nmumv=Nivi+Njvj+NmvmNi、Nj、Nm：形函数(插值函数)yxPijmNi(x,y)ijm1 形函数的性质(1)(Ni)i=1，(Ni)j=0，(Ni)m=0(2)单元内任一点：Ni+Nj+Nm=13.位移模式的矩阵表示Ni(x,y)ijm1 4.位移模式应满足以下条件，才能保证有限元解答收敛：(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移(2)位移模式必须能反映单元的常量应变(3)位移模式应尽可能反映位移的连续性三结点三角形单元的完备性和连续性：(1)反映刚体位移：(2)反映常量应变：ex=a2，ey=a6，gxy=a2+a3必要条件充分条件 三结点三角形单元的完备性和连续性：(3)位移连续性：▲单元内：单值连续；▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2)？ij边的方程：y=ax+b，则uij=a1+a2x+a3(ax+b)=cx+duij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两点的结点位移唯一确定。yx(2)ijmp(1) 0.4单元刚度矩阵建立：{F}e=[k]{d}e单元刚度矩阵：结点位移位移应变应力结点力{d}e——{f}——{e}——{s}——{F}e物理方程几何方程位移模式虚功方程{f}=[N]{d}e{e}=[B]{d}e{s}=[S]{d}e，[S]=[D][B]{F}e=[k]{d}e，[k]=[B]T[D][B]tAyui,(Ui)ixvi,(Vi)ujjvjummvm [B]：应变矩阵；[S]：应力矩阵；三结点三角形单元中，[B]、[S]的元素均为常数，故这种单元又称常应变单元，或常应力单元。yui,(Ui)ixvi,(Vi)ujjvjummvm [k]元素的物理意义kpq：第q个结点位移分量为单位位移（其它结点位移=0），所引起的第p个结点力分量。如k25：[k]的性质：(1)对称性：kpq=kqp(2)奇异性；(3)每行（列）元素之和为零。(4)[k]取决于单元的形状、方位和弹性常数，与所在位置（即平移或np转动）无关。yui,(Ui)ixvi,(Vi)ujjvjummvm 0.5等效结点荷载非结点荷载需等效移置到结点上。移置原则：静力等效原则——原荷载与移置后的结点荷载在任意虚位移上所作虚功相等。集中荷载{P}的移置：{R}e=[N]T{P}分布体力{p}的移置：分布面力{p}的移置：yXiixYiXjjYjXmmYmPxPyP 0.6整体刚度矩阵整体刚度矩阵可由结构的各单元刚度矩阵集成。1.划分单元：4个单元，6个结点编号：单元(1)~(4)；结点1~62.局部编码与整体编码的关系：yx1kN/m1m1m1m1m123456(1)(2)(3)(4)(1)(2)(4)(3)ijmijm局部码整体码单元号(1)(2)(3)(4)ijm312524253635 3.计算单刚4.对号入座，形成总刚 整体刚度元素Kpq的物理意义结构第q个结点位移为单位位移（其它结点位移=0）时，所引起的第p个结点力。[K]的性质：(1)对称性(Kpq=Kqp),主对角元素必为正；(2)稀疏性，且一般为带状分布；平面问题最大半带宽=2(单元结点号之差最大值+1)(3)引入约束条件后为正定矩阵。 利用对称稀疏性，[K]可用半带宽存储。1234567891011120 答：例：试求图示结构总刚[K]中的22子块[K41]、[K42]、[K44]、[K45]、[K46]。已知两种单元的刚度矩阵均为：123456789(1)(2)(3)(1)(3)(2)ijmijm (1)(3)(2)ijmijm123456789(1)(2)(3) 0.7单元划分应注意的问题1.单元大小及疏密——根据精度、计算能力综合.主要部位、应力（位移）变化大的部位划细应力误差与单元尺寸成正比位移误差与(单元尺寸)2成正比2.单元的三边应尽量接近；应力、位移误差反比于最小内角的正弦；3.结构尺寸或材料突变处划作单元边界，附近单元划小；4.荷载突变或集中荷载处布置结点，附近单元划小。 第1章弹塑性力学基础1.1应力张量1.2偏量应力张量1.3应变张量1.4应变速率张量1.5应力、应变Lode参数 1.一点的应力状态一点的应力状态可由过该点的微小正平行六面体上的应力分量确定。1.1应力张量yxzOtyxtyzsytyxtyzsytzxtzysztxytxzsxtxytxzsxtzxtzyszPABCPABCyxzO 应力张量：下标1，2，3表示坐标x1,x2,x3（即x,y,z）方向.2.一点斜面上的应力SNNx2x1x3OSN2SN1SN3i：自由下标；j（或k）为求和下标（同一项中重复出现）。 正应力sN和剪应力tN：张量的求和约定： 3.主应力及其不变量主应力、主平面、主方向以l表示主应力，l1,l2,l3表示主方向的方向余弦，则：SN1=ll1,SN2=ll2,SN3=ll3 dij符号：i=j时，dij=1；ij时，dij=0。即方向余弦l1,l2,l3满足l12+l22+l32=1，即lili=1要使l1,l2,l3不全为零(方程组有非零解)，则 展开得l的三次代数方程： 解方程可得三个实根，即为三个主应力s1,s2,s3J1,J2,J3称为dij的第一、第二、第三不变量，不随坐标系的选取而变。若用主应力表示，则主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为 主剪应力面（t1）213t1213t1 4.八面体上的应力沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为八面体。八面体的法线方向余弦：八面体上的正应力与剪应力： 八面体（每个坐标象限1个面）各面上应力在坐标轴上投影的数值相等：s1s2s3 1.2偏量应力张量应力张量的分解平均正应力s=(s11+s22+s33)/3=J1/3，不产生塑性变形应力分量=平均应力+偏量应力应力张量sij=sm+Sij Sij与sij类似，也是二阶应力张量，也具有主平面、主方向和主值。 2.主偏量应力及其不变量Sij的主轴方向与sij的主方向一致，主值为S1=s1-s，S2=s2-s，S3=s3-s满足三次代数方程式： 利用J1’=0，不变量J2’还可写为 3.等效应力等效应力（应力强度） 等效剪应力（剪应力强度）八面体上的剪应力t8与J2’之间的关系： 1.3应变张量一点的应变状态工程应变分量（几何方程）： 2.主应变、应变张量不变量eij:二阶对称张量。主应变e1,e2,e3满足：ei3-I1ei2-I2ei-I3=0I1、I2、I3为应变张量不变量。 3.主偏量应变及其不变量eij的主轴方向与eij的主方向一致，主值为e1=e1-e，e2=e2-e，e3=e3-e满足三次代数方程式： 等效应变（或称应变强度）： 等效剪应变（或称剪应变强度）： 例题：已知结构内某点的应力张量如下式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。解： 关于主应力的方程为： 1.4应变速率张量应变速率张量变形过程中，物体各质点均处于运动状态。经dt时间，质点产生的位移及应变为： 1.5应力、应变Lode参数1.应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）任一斜面上应力位于阴影线内ms=Q2A/Q1A=(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1 若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态（各向等拉或各向等压），则应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小（直径）则取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大（这时，应力分量的大小有改变，但应力状态的形式不变），则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。 2.应力Lode参数（1）球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。为此，引进参数——Lode参数： （2）应力Lode参数的物理意义：与平均应力无关；其值确定了应力圆的三个直径之比；如果两个应力状态的Lode参数相等，就说明两个应力状态对应的应力圆是相似的，即偏量应力张量的形式相同；所以，Lode参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。 （3）简单应力状态的Lode参数Q1OQ2Q3stQ3OQ1Q2st单向压缩(s1=s2=0,s3<0)单向拉伸(s1>0,s2=s3=0)ms=1ms=-1 纯剪(s1>0,s2=0,s3=-s1):ms=0Q2OQ1Q3st 3.应变Lode参数为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：如果两种应变状态的me相等，则表明它们所对应的应变莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式相同。 第5章简单应力状态的弹塑性问题5.1基本实验资料5.2应力－应变的简化模型5.3应变的表示法5.4理想弹塑性材料的简单桁架5.5线性强化弹塑性材料的简单桁架5.6加载路径对桁架内应力和应变的影响 5.1基本实验资料1.拉压应力-应变曲线（1）单向拉伸曲线（a）有明显屈服极限123OsssaDseepeess：屈服应力 （b）无明显屈服极限Os0.2DseepeeCAB0.2% （2）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）应变<10%时，基本一致；应变10%时，较大差异。O拉se压一般金属的拉伸与压缩曲线比较 （3）反向加载卸载后反向加载，ss’’es(屈服后)应力-应变简化模型：（简单加载模型）1.理想弹塑性模型OssseesE 1.理想弹塑性模型sign为符号函数： 用应变表示的加载准则： OssseesEE’2.线性强化弹塑性模型 2.线性强化弹塑性模型 3.一般加载规律OssseepBCAeO1weesw(e)=AC/AB弹性曲线与实际曲线的相对差值 对线性强化材料，采用一般加载曲线，则有4.幂次强化模型5.Ramberg-Osgood模型(三参数模型) 6.刚塑性模型（忽略弹性变形）(a)理想刚塑性模型(b)线性强化刚塑性模型OssseOssse 反向加载应力-应变简化模型1.等向强化模型拉伸和压缩时的屈服极限相等2.随动强化模型拉伸和压缩的弹性范围不变等向强化：OABB’’随动强化：OABB’BAsssss’ss’’e 例题：已知一单向加载过程的应力路径为01.5ss0–ss0，材料符合线性随动强化规律，强化模量E’=E/100，试求出对应的应变路径。解：BAs1.5ss-sssseCDEO-0.5ssFes 解(续)：BAs1.5ss-sssseCDEO-0.5ssFes应变路径为：051ss/E49.5ss/E–ss/E0。 BAs1.5ss-1.2sssseCDEO-0.5ssFes应力路径：01.5ss0–1.2ss0应变路径：051es49.5es–21es–19.8es。 5.3工程应变和自然应变工程应变：自然应变（适合大变形问题）微段l0经历n个变形阶段：l0,l1,l2,…,ln，则 工程应变与自然应变的关系(1)小变形时，eE；变形越大，e误差越大。自然应变为可加应变。例如：l01.5l01.8l02l0 (3)自然应变为可比应变。 工程应变与自然应变的比较1.20.40.81.6-1.6-0.4-0.8-1.21.01.21.41.6Ol/l0ee=l/l0-1E=lnl/l0 5.4理想弹塑性材料的简单桁架三杆桁架受竖向力P作用，杆件截面均为A，试作弹塑性分析。■平衡方程：N1=N3N1cosq+N2+N3cosq=P或由应力表示：2s1cosq+s2=P/A■协调方程：d=e2l=e1l1/cosq=e1l/cos2q即：e1=e2cos2qhhldl01Pq23三杆桁架结构A 1.弹性阶段（PPe）应力-应变关系：s1=Ee1，s2=Ee2联立平衡方程和协调方程，可得：当s2=ss时，结构达到弹性极限，相应的荷载为弹性极限荷载Pe：Pe=ssA(1+2cos3q)，A点位移:de=e2l=ssl/E应力用Pe表示为: 2.弹塑性阶段（P>Pe）约束塑性变形阶段：杆2已屈服，杆1、3仍为弹性,由s2=ss及平衡方程可得塑性流动阶段：当s1=ss时，三杆均进入屈服，结构达到塑性极限，相应的荷载为塑性极限荷载Ps：Ps=ssA(1+2cosq)A点位移: 弹性与塑性极限荷载（极限位移）的关系：荷载-挠度曲线：理想弹塑性线性强化d/deP/PeP1/PePs/Pe1.0011/cos2q 3.卸载卸载符合弹性规律。设荷载变化为DP，则 若加载至P*（PePe），则此过程仍为弹性过程。这相当于将弹性范围由扩大至了。这种使其弹性范围扩大的有利的残余应力状态称为安定状态。 5.5线性强化弹塑性材料的简单桁架平衡方程与协调方程不变。物理方程：当|s|>ss时，s=ss+E’(|e|-es)1.弹性阶段(PPe)：与理想弹塑性相同2.弹塑性阶段(PPe)：s2=ss+E’(e2-es)联立平衡和协调方程可求得各杆应力和变形，式(5.43)3.杆1、3也进入屈服，相应的塑性极限荷载Ps’Ps’=ssA(1+2cosq+E’tan2q/E) 与理想弹塑性材料的比较：荷载-挠度曲线见5.4节。4.卸载：卸载仍按弹性规律变化。卸载后杆2转为压应力，是否会进入压缩塑性状态呢？若为随动强化，则要求Ds22ss，则得卸载后不发生反向屈服的条件为：P2Pe 例题：图示等截面杆，截面积为A，在x=a(a