《3.1.1 实数系》同步练习4

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1、《3.1.1实数系》同步练习4一、选择题1．下列说法中正确的个数是(　　)①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集．A．1　　B．2　　C．3　　D．4[答案]　C[解析]　①②④正确，故选C.2．下列说法正确的是(　　)A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．ai是纯虚数C．如果复数x＋yi是实数，则x＝0，y＝0D．复数a＋bi不是实数[答案]　A[解析]　两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等．故选A.3．(2015·沈

2、阳高二检测)已知a，b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]　C[解析]　本题考查纯虚数的概念，解题的关键是弄清充分条件，必要条件等概念．当a＝b＝0时，复数为0，是实数，故B不正确；由(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数，则⇒a＝b≠0，即a＝b≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a＝b是该复数为纯虚数的必要不充分条件．4．复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为(　　)A．0或－

3、1B．0C．1D．－1[答案]　D[解析]　∵z为纯虚数，∴∴m＝－1，故选D.5．复数z＝a2－b2＋(a＋

4、a

5、)i　(a、b∈R)为纯虚数的充要条件是(　　)A．

6、a

7、＝

8、b

9、B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠bD．a>0且a＝±b[答案]　D[解析]　a2－b2＝0，且a＋

10、a

11、≠0.6．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)A．2kπ－(k∈Z)　　　　　　B．2kπ＋(k∈Z)C．2kπ±(k∈Z)D．＋(k∈Z)[答案]　B[解析]　由得(k∈Z)∴θ＝2kπ＋.故选

12、B.7．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　)A．3－3iB．3＋iC．－＋iD．＋i[答案]　A[解析]　3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i，实部为－3，所以选A.8．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　　)A．1B．±1C．－1D．－2[答案]　A[解析]　解法一：由x2－1＝0得，x＝±1，当x＝－1时，x2＋3x＋2＝0，不合题意，当x＝1时，满足，故选A.解法二：检验法：x＝1时，原复数为6i满足，排除C、D；x＝－1时，原复数为0，不满足，排

13、除B.故选A.二、填空题9．满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点的个数是________．[答案]　2[解析]　由题意，知∴∴(x，y)表示的点为(3，)，(－1，)，共有2个．10．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下面结论正确的个数是________．①A∪B＝C；②∁UA＝B；③A∩∁UB＝C；④C∪B＝C.[答案]　1[解析]　只有④正确．11．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈Z)，且z＜0，则k＝________.

14、[答案]　2[解析]　∵z＜0，k∈Z，∴∴k＝2.三、解答题12．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.[解析]　由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3；(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.一、选择题1．下

15、列命题中哪个是真命题(　　)A．－1的平方根只有一个B．i是1的四次方根C．i是－1的立方根D．i是方程x6－1＝0的根[答案]　B[解析]　∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A错；∵i3＝－i≠－1.∴i不是－1的立方根；∴C错；∵i6＝i2＝－1，∴i6－1≠0，故i不是方程x6－1＝0的根，故D错；∵i4＝1，∴i是1的四次方根．故选B.2．(2015·锦州期中)若(m－1)＋(3m＋2)i是纯虚数，则实数m的值为(　　)A．1B．1或2C．0D．－1、1、2[答案]　A[解析]　因为(m－1

16、)＋(3m＋2)i是纯虚数，所以m－1＝0且3m＋2≠0，解得m＝1.3．若复数cosθ＋isinθ和sinθ＋icosθ相等，则θ的值为(　　)A.B．或πC．2kπ＋(k∈Z)D．kπ＋(k∈Z)[答案]　D[解析]　由复数相等的条件得cosθ＝sinθ.∴θ＝kπ＋(k∈Z)．故选D.4．若复数(a2－a－2)＋(

17、a－1

18、－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)A．a＝－1B．a≠－1且a≠