《3.1.1 实数系》同步练习2

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1、《3.1.1实数系》同步练习2一、选择题1．下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是(　　)A．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　D．④[答案]　D[分析]　由复数的有关概念逐个判定．[解析]　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与

2、实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2．(2010·四川理，1)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝(　　)A．－1B．1C．－iD．i[答案]　A[解析]　i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.3．下列命题中假命题是(　　)A.不是分数B.i不是无理数C．－i2是实数D．若a∈R，则ai是虚数[答案]　D[解析]　当a＝0时，ai是实数，所以D是假命题，故应选D.4．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列结论正确的是(　　)A．a＝0⇔a＋bi为纯虚数B．b＝0⇔a＋bi为实数C．a＋(b－1)i＝3＋2i⇔a＝3，b＝－3D．－1的平方等于i[答案]　B

3、[解析]　a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，A错误，B正确．a＋(b－1)i＝3＋2i⇒a＝3，b＝3，C错误．(－1)2＝1，D错误．故应选B.5．若z的实部为lgx2，虚部为lg2x，x是正实数，那么(　　)A．使z的实部、虚部都是正数的x的集合是(1，＋∞)B．使z的虚部为负数的x的集合是(0，1)C．使z的实部和虚部互为相反数的x的集合是{1}D．使z的实部和虚部互为倒数的x的集合是[答案]　A[解析]　由解得x>1，A正确．故应选A.6．复数z＝a2－b2＋(a＋

4、a

5、)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　)A．

6、a

7、＝

8、b

9、B．a<0且a＝－bC．

10、a>0且a≠bD．a≤0[答案]　D[解析]　复数z为实数的充要条件是a＋

11、a

12、＝0，而

13、a

14、＝－a，∴a≤0，故应选D.7．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)A．2kπ－B．2kπ＋C．2kπ±D.＋(以上k∈Z)[答案]　B[解析]　由得(k∈Z)∴θ＝2kπ＋.选B.8．若复数(a2－a－2)＋(

15、a－1

16、－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)A．a＝－1B．a≠－1且a≠2C．a≠－1D．a≠2[答案]　C[解析]　若复数(a2－a－2)＋(

17、a－1

18、－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或

19、a－1

20、－1＝0，解得a≠－1.

21、故应选C.9．下列命题中哪个是真命题(　　)A．－1的平方根只有一个B．i是1的四次方程C．i是－1的立方根D．i是方程x6－1＝0的根[答案]　B[解析]　∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A错；∵i3＝－i≠－1.∴i不是－1的立方根；∴C错；∵i6＝i2＝－1，∴i6－1≠0故i不是方程x6－1＝0的根，故D错；∵i4＝1，∴i是1的四次方根，故选B.10．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)A．3＋iB．3－iC．－3－iD．－3＋i[答案]　B[解析]　由题意知n2＋(m＋2

22、i)n＋2＋2i＝0即，解得.∴z＝3－i，故应选B.二、填空题11．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.[答案]　2[解析]　方程可化为解得x＝2.12．如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为________．[答案]　－2[解析]　如果z为纯虚数，需，解之得a＝－2.13．已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i>0，则实数x＝________.[答案]　1[解析]　复数z能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知，解得x＝1.14．已知复数z1＝m＋(4＋m)i(m∈R)，z2＝2cosθ

23、＋(λ＋3cosθ)i(λ∈R)，若z1＝z2，则λ的取值范围是______．[答案]　[3，5][解析]　∵z1＝z2，∴∴λ＝4－cosθ.又∵－1≤cosθ≤1，∴3≤4－cosθ≤5，∴λ∈[3，5]．三、解答题15．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．[解析]　∵log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，∴∴m＝4，故当m＝4时，log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)是纯虚数．16．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．实数a取什么值时，z是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[