《3.1.1 实数系》教学案1

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1、《3.1.1实数系》教学案1【三维目标】知识与技能：理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求，让学生学会对事件归纳与认识的方法.情感、态度与价值观：(1)培养学生分类讨论、等价转化等数学思想和方法；(2)培养学生矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点；(3)感受人类理性思维的作用.【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件【教学难点】数集扩充的必要性和过程【教学过程】一、创设情境，提出问题问题1：数，是数学中的基

2、本概念.到目前为止，我们学习了哪些数集？用符号表如何表示？它们之间有怎样的包含关系？(板书)用图示法可以如何表示(投影)我们将一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系.(投影)如：自然数系、整数系、有理数系、实数系.所谓“运算及结构”主要是指加法与乘法的运算律.无论在哪个数集内，都满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.问题2：今天的课题是什么？从刚才这张“图示法”表示数集之间的包含关系的图也可以看出数逐步发展壮大的过程.数的概念是如何不断的发展和扩充的呢？下面跟大家一起作简单回顾．二、学生活动，意义建构最基本的数是自然数，

3、它是全部数学的发源地，自然数的产生当初完全是古人为了计数的需要．之后，在土地测量，水利工程中发现仅有自然数显然是不够的，经常发生度量不尽的情况，于是产生了正分数，数的概念扩充到正有理数．为了刻画具有相反意义的量产生了负数，我国是认识负数最早的国家．数的概念再次扩充到有理数；古希腊人在研究正方形的边长与对角线长之间关系时发现，产生了无理数，数的概念扩充到实数.正是因为计数、度量、测量等这些原因使得数的概念经历从无到有，从有到壮大的过程.问题3：由此看来，什么原因导致数的概念逐步扩充的？(实际需求)问题4：方程的解是什么？方程的解呢？学生必答

4、“－4”和“无解”，下面可以如此设计：对于方程(1)，在自然数集中，解的情况如何？原因是什么？为此引入负数，数集扩充到整数集.在整数集中，方程无解，怎么办？引入分数，数集扩充到有理数集.在有理数集中，方程无解，为此引入无理数，数集扩充到实数集.从使得方程有解的角度来看，每一次数的概念的扩充有什么特征？(新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的.)如何使方程有解呢？解方程离不开数与数之间的运算，没有运算的话，数不过是一些符号而已，毫无意义.下面我们再从运算的角度我们再来看一下每一次数的概念的扩充又有什么特征.所谓运算主要指加

5、、减、乘、除、乘方、开方这六种运算.在自然数集中，加法和乘法总可以实施，乘方是乘法特殊情况也是可行的.但是，由于小数不能减大数.在整数集中，自然数集原有的三种运算固然可以进行，同时又解决了在自然数集减法不是总可以实施的问题.在有理数集中，整数集中原有运算仍然适用，同时又解决了除法只能整除问题，使得除法总可以实施了，当然除数不为0.在实数集中，有理数集的运算也都可以实施，还解决了开方的结果可能不是有理数的问题，当然只能是正数的开方问题.问题5：从运算角度来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的.请问是何种规律？三、数学理论，建立数学因此，我们

6、规定：(1)(2)实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.将满足上述两个条件的新数，叫做虚数单位.依照这种规定，可以与实数相乘，得(，特别地，)；还可以和实数相加得.于是出现了形如的数，(其中)我们把它们叫做复数.全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.复数通常用字母表示，即其中分别叫做复数的实部与虚部.这一表示形式叫做复数的代数形式.四、应用数学例1写出复数4，，0，，，的实部与虚部？(口答)问题6：实数是复数吗？何时为实数？根据复数中的取值不同，复数可以有以下的分类：例2、实数m取什么值时，复数是：(1

7、)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？复数可以看成是关于的一次二项式，类比两个二项式相等的意义，我们规定：两个复数与相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等，记作例3已知，求实数的值五、课堂小结今天我们与大家一起学习复数的有关内容.复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充.大家一定体会到了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用.数系的不断扩充体现了人类在数的认识上的深化，就像人类进入太空实现了对宇宙认识的飞跃一样，复数的引入是对数认识的一次飞跃.