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《2020届江苏省镇江市统一高考数学第一轮复习学案（解析答案版）：56 数学归纳法2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、镇江市区普通高中数学教学案课题数学归纳法(2)上课教师上课班级主备人吴春乔审核人上课时间教学目标1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。教学重点与强化方法能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点与突破方法归纳→猜想→证明．一、前置学案㈠知识准备数学归纳法证明命题的步骤（1）当n取第一个值n0结论正确；（2）假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数
2、n都正确。数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。㈡基础训练4.(选修2-2P91习题4改编)由,…,可得出的一般性结论是 . 【答案】【解析】第n个式子的左边首项为n,公差为1,共2n-1项,所以左边=n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2),式子右边=(2n-1)2.5.(选修2-2P89例5改编)设n条直线把一个平面分成rn个部分,通过n=1,2,3,4画出图形观察可发现.若利用数学归纳法对此结论进行证明,当n=k+1时,需证 ___ 【答案】k+1【解析】当n=k+1
3、时,第k+1条直线与前面的k条直线都相交,产生k个交点,这k个交点把这条直线分成了k+1段,且每一段将原有的平面中k+1个部分分成两个部分,即增加了k+1个部分.高三数学试卷第12页（共7页）二、教学过程例题选讲:证明等式例1 用数学归纳法证明:1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)=【解答】(1)当n=1时,左边=1×2×3=6,右边==6,所以当n=1时等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即1×2×3+2×3×4+…+k×(k+1)×(k+2)=,那么当n=k+1时,左边=1×2×3+2×3×4+…+k×(k+1)×(k+2)+(k+1)×
4、(k+2)(k+3)=+(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)==右边,所以当n=k+1时等式也成立.由(1)和(2)可知原等式对于任意的n∈N*都成立.【点评】用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要取n0=2，在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上推证n=k+1等式也成立，但必须用上述归纳假设.变式 当n∈N*时，求证：1-+-+…+-=+++…++.【解答】①当n=1时，左边=1-=，右边==，左边=右边.所以当n=1时，等式成立.高三数学试卷第12页（共7页）②假设当n=k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即1-+-+…+-=
5、+++…+.则当n=k+1时，左边=1-+-+…+-+-=+++…++-=++…++=++…+++=右边，所以当n=k+1时，等式也成立.由①②知1-+-+…+-=+++…++.即对任意的n∈N*，等式都成立.利用数学归纳法证明不等式例2 用数学归纳法证明不等式【解答】(1)当n=1时,左边=1,右边=2,所以当n=1时不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时不等式成立,即,那么当n=k+1时,左边=,由4k2+4k<4k2+4k+1,可得,高三数学试卷第12页（共7页）即,所以当n=k+1时不等式也成立.根据(1)和(2)可知不等式对所有的n∈N*都成立.【精要点评】在
6、步骤(2)的证明过程中,关键是“凑”,一凑假设,二凑结论.充分考虑到由n=k到n=k+1时命题的形式之间的区别与联系.在证明时要注意结合放缩法、比较法、分析法等方法去推理论证.变式 求证:.【解答】(1)当n=1时,1>,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时不等式成立,即，那么当n=k+1时,>,所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)知,.三、课堂小结1．数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）[来源:学科网][来源:学科网]2．数学归纳法公理：（1）：当n取第一个值n0结论正确；（2）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假
7、设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。四、当堂检测1.用数学归纳法证明：对n∈N*，都有+++…+=.高三数学试卷第12页（共7页）1.①当n=1时，左边==，右边==，左边=右边.所以n=1时，等式成立.②假设++…+=，则n=k+1时，++…++=+=====.所以n=k+1时，等式也成立.由①②知+++…+=.2.求证：n3+5n(n∈N*)能被6整除.①当n=1时，n3+5n=6
