2020届江苏省镇江市统一高考数学第一轮复习学案（解析答案版）：55 数学归纳法(1)(教师版)

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1、数镇江市区普通高中数学教学案课题数学归纳法(1)上课教师上课班级主备人吴春乔审核人上课时间教学目标1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。2．掌握数学归纳法证明问题的方法。3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。教学重点与强化方法掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法教学难点与突破方法能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．一、前置学案㈠知识准备1.数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立2.结论：1）当n=1时,显然成立.2）假设当n=k时（把式中n换成k,写出来）成立,则当n=k+1时,（这步比较困难,化简步骤往往繁琐,考

2、试时可以直接写结果)该式也成立.由（1）（2）得,原命题对任意正整数均成立．㈡基础训练1.(选修2-2P88练习2改编)设n∈N*,用数学归纳法证明时,第一步应证明:左式=　　　　. 【答案】22.(选修2-2P88例4改编)设,通过计算n=1,2,3,4时f(n)的值,可以猜想f(n)能被数值　　　　整除. 【答案】8【解析】因为f(1)=8=8×1,f(2)=32=8×4,f(3)=144=8×18,f(4)=680=8×85,所以猜想f(n)能被8整除.3.(选修2-2P91习题7改编)已知数列{an}满足,且,那么可以通过求a2,a3,a4的值猜想出=　　　　. 【答案】【解析

3、】由题知a1=1,a2=,a3=,a4=,故猜想an=.例题选讲:证明等式　例1　用数学归纳法证明：当时，．证：（1）当时，等式左边，等式右边，等式成立．（2）假设当时等式成立，即，那么，当时，有．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2），可知对任何，等式都成立．【点评】用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要取n0=2，在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上推证n=k+1等式也成立，但必须用上述归纳假设.变式　当n∈N*时，求证：1-+-+…+-=+++…++.【解答】①当n=1时，左边=1-=，右边==，左边=右边.所以当n=1时，等式成立.②假设当n

4、=k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即1-+-+…+-=+++…+.则当n=k+1时，左边=1-+-+…+-+-=+++…++-=++…++=++…+++=右边，所以当n=k+1时，等式也成立.由①②知1-+-+…+-=+++…++.即对任意的n∈N*，等式都成立.例2　设f(n)=1+++…+(n∈N*).求证：f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·[f(n)-1](n≥2，n∈N*).【分析】与自然数有关的等式证明，可以采用数学归纳法，但要注意n0的取值.【解答】当n=2时，左边=f(1)=1.右边=2×=1，左边=右边，等式成立.假设n=k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，

5、即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1].那么，当n=k+1时，f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)-k=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1]，所以当n=k+1时结论仍然成立.所以f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2，n∈N*)成立.变式：用数学归纳法证明：，证：（1）当时，等式左边，等式右边，所以，等式成立．（2）假设时，等式成立，即那么，当时，即时等式成立．根据（1）和（2），可知对任何，等式都成立．三、课堂小结（1）这两个步骤是缺

6、一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即时为什么成立？时成立是利用假设时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出时成立，而不是直接代入，否则时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．四、当堂检测用数学归纳法证明：当时，．证：（1）当时，，，结论成立．[来源:Zxxk.Com]（2）假设时，结论成立，即，那么．所以当时，命题也成立．根据（1）和（2），可知结论当时

7、都成立．变式：用数学归纳法证明：，证：（1）当时，等式左边，等式右边，所以，等式成立．（2）假设时，等式成立，即那么，当时，即时等式成立．根据（1）和（2），可知对任何，等式都成立．五、课后作业课外作业：用数学归纳法证明：1、2、3、用数学归纳法证明：等差数列的前n项和4、用数学归纳法证明：5、是否存在常数a,b,c使等式对一切正整数n都成立？并证明你的结论.六、教学反思