实数全章导学案学生版.doc

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第十三章实数13.1平方根（1）【学习内容】课本P68-72【学习目标】1.了解数的算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性2.能利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根【学习重点】了解算术平方根的概念、性质、会用根号表示一个正数的算术平方根【学习难点】理解算术平方根的双重非负性［探究研讨］【活动1】学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？正方形的面积191636边长     这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（问题导入）自学教材，回答问题：1.一般地，如果一个___数x的平方等于a，即=a，那么这个______叫做a的_________．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：______的算术平方根是0.记作=2.由以上定义可知如果=a，那么x就叫a的算术平方根吗？判断下列语句是否正确？①5是25的算术平方根（）②-6是36的算术平方根（）③0.01是0.1的算术平方根（）④-5是-25的算术平方根（）3.3的算术平方根可表示为，4的算术平方根可表示为，你还能表示出那些数的算术平方根？写在下面，和同座交流一下4.试一试：你能根据等式：=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．【活动2】例：求下列各数的算术平方根：（1）100；(2)；(3)0.0001；⑷0； ［跟踪训练］1、1.非负数的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，的算术平方根____，0的算术平方根是____2.的算术平方根是（）A．B．C．D．3.若是49的算术平方根，则=（）A.7B.－7C.49D.－494.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是.［变式训练］想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？⑴⑵⑶⑷［跟踪训练］1.2.的算术平方根是_____,3.若，则的算术平方根是（）A.49B.53C.7D.【活动3】思考：－4有算术算术平方根吗？为什么？总结：1.正数有的算术平方根0的算术平方根是负数具有双重非负性2.对于：a00 ［跟踪训练］1．下列哪些数有算术平方根？0.03，-，π，0，（-3）2，（-1）32.下列各式中无意义的是（）A．B．C.D．3.下列运算正确的是（）A．B．C．D．4.若下列各式有意义，在后面的横线上写出x的取值范围：⑴⑵5.若，则a=,b=,．［提升能力］1.一个自然数的算术平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______2.一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的n倍，它的边长变为原来的倍.3.如图：ba0那么，有意义吗？4.要使代数式有意义，则的取值范围是（）A.B.C.D.5.若，求的值。［反思归纳］算术平方根的定义、表示方法和性质1.求一个非负数的算术平方根2.的双重非负性 13.1平方根（2）【学习内容】课本P72-74【学习目标】1.理解有些非负数的算术平方根不是一个有理数3.能用逼近法估算（a不是完全平方数）的算术平方根的大小，增强数感【学习重点】能用逼近法估算（a不是完全平方数）的算术平方根的大小【学习难点】通过估算能比较类似（a不是完全平方数）的数的大小［知识回顾］1、算术平方根的意义及表示方法。2、说出下列各数的算术平方根。1000.004942［探究研讨］某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上,再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.【活动1】怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形动手画一画，若确实不会，则学生间进行交流。问题1：画出拼成的大正方形的草图。问题2：你能求出大正方形的边长吗？（动动脑） 讨论：有多大？思考：你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识呢？［巩固练习］1.你能快速的说出下列各数的算术平方根吗？⑴121⑵⑶7⑷8你能求出7的算术平方根的值吗？它是一个的数，近似值为（精确到0.1）2.估算的大小（全部精确到0.1），你还能估算出哪些数的大小？根据你估算的结果，用“＞”把这些数字连接起来总结：由上可知:两个非负数中较大的，它的算术平方根（也较大/较小）比较大小：⑴⑵⑶⑷-【活动2】例3小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,她可以怎样剪?若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2她又该怎样剪?只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗? ［提升能力］1.比较与的大小2.若是的整数部分，是的小数部分，试确定、的值。3.某人开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2.(1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于1米)(2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少?(精确到0.01)［反思归纳］1.当a不是一个完全平方数时，能用逼近法求的近似值2.通过求近似值比较大小。规律：被开方数越大，算术平方根越大3.体会数学来自生活，又用之生活的思想13.1平方根（3）【学习内容】教材P72-74【学习目标】1.理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。2.学会平方根的表示法和求非负数的平方根。运用平方根的知识解决实际问题3.体会从一般到特殊的数学思想方法【学习重点】平方根的概念和表示方法【学习难点】求一个非负数的平方根【学习过程】［知识回顾］ 1.∵（）2=81∴81的算术平方根是（对算术平方根概念的回忆）2.求下列各数的算术平方根⑴⑵0.25⑶225⑷（-5）2（为例4做准备；体会不同形式的数字的算术平方根的求法；回忆算术平方根的性质）3.求下列各式的值⑴⑵⑶-（为例5做准备）［探究研讨］【问题1】①如果一个数的平方等于9，这个数是多少？（引导学生和上节课的问题作对比，看两者之间有什么区别和联系）②填表x21916x总结平方根的概念：例4：根据平方根的概念求下列各数的平方根⑴100⑵⑶0.25你还能举出其它的例子吗？【问题2】：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算和平方运算有什么关系？，可以用什么方法求一个数的平方根？（认识开平方运算，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系）【问题3】通过对例4的解答，你认为正数的平方根有什么特点？0的平方根呢？负数呢？总结平方根的性质：正数有个平方根，它们0的平方根是负数【问题4】用什么方法来表示正数的两个平方根呢？阅读课本P74“归纳”下面的一段话，回答下列问题：在平方根的表示方法中，根号前面为什么会有两个性质符号？①被开方数a为什么要大于或等于0②在数字下面的横线上，表示该数的平方根 4000.812［巩固练习］⑴10的平方根可表示为；算术平方根为；负的平方根可表示为⑵（-4）2的平方根可表示为；算术平方根可表示为；负的平方根克表示为例5：说出下列各式表示的意义，并求值⑴⑵-⑶±［拓展延伸］1、课本P751-3题2、判断下列说法是否正确⑴5是25的算术平方根（）⑵是的一个平方根（）⑶的平方根是－4（）⑷0的平方根与算术平方根都是0（）2、⑴⑵⑶⑷3、若，则，的平方根是［能力提升］1.x为何值时，下列各式有意义？2.下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由.⑴-64⑵0⑶144⑷⑸(-)2⑹3.如果一个正数的两个平方根为和，请你求出这个正数4.解方程3x2-27=0 5.讨论：（1）（）2＝　　　，（）2＝　　　　；（2）＝　　　，＝　　　，＝　　　；通过计算你有什么发现？［反思归纳］⒈本节课学习内容⑴平方根的概念（注意和算术平方根概念的区别和联系）⑵认识开平方运算（清楚和平方运算互为逆运算）⑶平方根的性质（正数的两个平方根互为相反数：正的平方根即为算术平方根；如果给出其中的一个平方根，另一个平方根即可知）⑷平方根的表示方法：（a≥0）（不能丢符号）13.2立方根【学习内容】教材P77-79【学习目标】1.了解立方根的概念，能用根号表示一个数的立方根；了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；理解“两个互为相反数的立方根的关系2体会一个数的立方根的惟一性；分清一个数的立方根与平方根的区别3.渗透特殊----一般----特殊的思想方法。【学习重点】立方根的概念和求法。【学习难点】立方根与平方根的区别。【学习过程】［知识回顾］说出下列各式表示的意义，并求值⑴⑵⑶⑷［探究研讨］【活动1】要制作一种容积为27m3 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？由以上问题，有x3=27，即x3=a的形式，和上节课学习的平方根（x2=a）有什么区别？【活动2】阅读课本P77-78“探究”以上的内容，理解以下知识1.立方根（三次方根）的概念2.什么是开立方运算？和立方运算有什么关系？3.立方根有什么性质？与平方根有什么不同？4.数的立方根用什么符号表示？与平方根有什么区别？［随学随练］1.8有个立方根，是，可以表示为，即：=（考察数的立方根的性质和表示方法）2.如果x3=8，那么x=3.立方根等于本身的数为4.-3是的平方根，是的立方根5.表示，并求出下列数的立方根⑴-10⑵⑶0⑷-0.0086.下列说法中不正确的是（）（A）8的立方根是2（B）-8的立方根是-2（C）的立方根为2（D）125的立方根为±57.的绝对值是（）（A）3（B）-3（C）（D）-【活动3】例：说出下列各式表示的意义并求值⑴⑵⑶⑷［巩固练习］1.求下列各式的值⑴－⑵+【活动4】探究因为所以 因为，所以你能把发现的结论用含字母a的式子表示出来吗？［巩固练习］1.同学甲在计算上面例题的第2小题时，用了这种方法：=－=－5，你认为这种方法（正确/不正确），不正确的话怎样改正？同学乙在计算上面例题的第4小题时，用了这样的方法：=－=－你认为这种方法（正确/不正确），不正确的话怎样改正？同学丙认为把立方根的性质=－，扩展到平方根中也会有类似的性质，即=－，你认为正确吗？为什么？2.计算－+［提升能力］1.当 时，有意义；当时，有意义2.下列等式成立的是（）（A）=1（B）=15（C）=－5（D）=－33.的立方根是，的平方根是，的立方根是4.下列计算或命题中正确的有（）①±4都是64的立方根②=x③的立方根是3④=±4（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5.求下列各式中的x⑴8x3+125=0⑵（x+3）3+27=0 6.已知16x3=9，y3=8，求x+y的值7.已知一个数的两个平方根分别是3a+1和a+11，求这个数的立方根8.计算下列两组式子，看看你会有什么发现？⑴（）3=（）3=（）3=⑵===你的发现是：回忆：平方根有类似的性质吗？［反思归纳］1.立方根的概念、表示方法和性质2.体会立方根从概念、表示方法和性质等方面的区别3.两个规律性的计算=－；（）3=体会从特殊---一般----特殊的数学学习方法13.3实数（1）【学习内容】课本P82-84【学习目标】1.了解无理数和实数的概念 2.会对实数按照一定的标准进行分类；知道实数和数轴上的点的关系.能估算无理数的大小3.了解实数范围内相反数和绝对值的意义【学习重点】正确理解实数的概念【学习难点】理解实数的概念;体会数轴上的点与实数是一一对应的.【学习过程】【知识回顾】1、什么是有理数?如何分类?2、是这样的数么?【合作交流，解读探究】【活动1】探究：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？3，，，，，我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即，，，，，归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.(板书)讨论：是不是有理数呢？为什么？归纳：不是整数，不是有限小数，也不是无限循环小数，所以不是有理数.是无限不循环小数（板书：无限不循环小数）.定义：无限不循环小数又叫无理数，也是无理数结论：有理数和无理数统称为实数学生举例：有理数无理数整理： 试探练习，回授调节：1.填空：在-19，3.…，，，，1.414，，，这些数中，有理数是；无理数是；2.判断对错：对的画“√”，错的画“×”.(1)无理数都是无限小数.（）(2)无限小数都是无理数.（）(3)是无理数.（）(4)是无理数.（）(5)带根号的数都是无理数.（）(6)有理数都是实数.（）【活动2】我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？探究1.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？O’O2. 总结：①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数②与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______讨论：当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？总结数的相反数是______，这里表示任意____________。一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______【学以致用】1、的相反数是，绝对值2、绝对值等于的数是，的平方是3、4、求绝对值5.已知实数、、在数轴上的位置如图所示：O化简6.下列说法正确的有（）⑴不存在绝对值最小的无理数⑵不存在绝对值最小的实数⑶不存在与本身的算术平方根相等的数⑷比正实数小的数都是负实数⑸非负实数中最小的数是0A.2个B.3个C.4个D.5个 【能力提升】：1、把下列各数填入相应的集合内：有理数集合{}无理数集合{}整数集合{}分数集合{}实数集合{}2、下列各数中，是无理数的是（）A.B.C.D.3、已知四个命题，正确的有（）（1）有理数与无理数之和是无理数⑵有理数与无理数之积是无理数（3）无理数与无理数之积是无理数⑷无理数与无理数之积是无理数（5）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、若实数满足，则（）A.B.C.D.【总结反思】：无理数的特征:1．圆周率及一些含有的数2．开不尽方的数3．有一定的规律，但不循环的无限小数注意:带根号的数不一定是无理数13.3实数（2）【学习内容】课本P85【学习目标】1.了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。2.会用计算器进行实数的运算。3.进一步感受实数与数轴上的点一一对应的关系，体验数形结合的优越性。4.发展学生的类比与归纳能力。 【学习重点】实数的有关性质及利用实数的性质解决相关问题【学习难点】能准确无误地进行实数运算【学习过程】【知识回顾】1.每一个无理数都可以用数轴上的表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示.实数与数轴上的点就是的，即每一个实数都可以用上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个.2、的相反数是．－π的相反数是．0的相反数是．∣－∣=，∣－π∣=，∣0∣=．【合作交流，解读探究】【活动1】1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律3、平方差公式、完全平方公式4、有理数的混合运算顺序【活动2】例2、计算下列各式的值（1）（+）-（2）+总结：实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的 例3、用精确度计算实数（结果保留两位小数）（1）、+（2）、总结：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算【拓展延伸】1.计算：(1)2－3；(2)..（3）（4）提示（3）式的结构是平方差的形式（4）式的结构是完全平方的形式总结：在实数范围内，乘法公式仍然适用【能力提升】1.计算：充分体现实数之间的各种运算，且正数和0可以进行开平方运算，任意一个数可以进行开立方运算。（1）＋π＋（精确到0.01）；（2） （3）（4）(5)（－2）3×.2.化简：进一步体会数形结合的思想。O（1）已知实数在数轴上的位置如下，化简（2）、已知、、在数轴上如图，化简O 1.应用：提升学生解决问题的能力。32451如图，平面上有四个点，它们的坐标分别是，，，.（1）顺次连接A、B、C、D围成的四边形是什么图形？（2）这个四边形的面积是多少？（3）将这个四边形向上平移个单位长度，四边形的四个顶点的坐标变为多少？【反思与归纳】1.本节课学习的内容主要是实数的运算2.学习方法：类比法3.主要体现的数学思想：数形结合类比