行列式的性质（用）.doc

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1、行列式的性质上一节我们给出了一般n价行列式的定义，根据定义计算n阶行列式，需要将n阶行列式化为n-1阶行列式，当行列式的阶数越大时，行列式计算就越复杂。为了简化行列式的计算，须先研究行列式的性质。将行列式的行（或列）换成同序号的列（或行）得到的行列式称为行列式的转置行列式。记行列式称为行列式的转置行列式.性质1行列式与它的转置行列式相等.证明:记的转置行列式按定义证毕说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例1、计算上三角行列式性质2互换行列式的两行（列

2、）,行列式变号.证明:设行列式是由行列式变换i,j两行得到的于是例如推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明:互换相同的两行，所得行列式任然是，根据性质2有性质3行列式等于它任意一行（或列）的各元素与对应的代数余子式的乘积之和.即证明：性质4行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.即即证明：由行列式的定义证毕推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．但是要注意，对行列式的行（列）提公因子时，要对行（列）分别进行。推论2若行

3、列式的某一行（列）中所有元素均为零，则此行列式为零．性质5行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明:性质6若行列式的某一行(列）的元素都是两数之和.若则D等于下列两个行列式之和：证明：由行列式的定义证毕例如性质7把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列)对应元素上去，行列式的值不变．证明：由行列式的性质证毕注：由于上三角形行列式的值是其对角线元素的乘积，因此计算行列式常用方法是利用性质7，把行列式化为等值的上三角形行列式，从而算得行列式的值．为了以后叙述方便，我

4、们引进下列记号：对换行列式的两行（或两列）记为把行列式的第i行（或列）提出公因子k,记为把行列式的第i行（或列）乘k倍后加到第j行（或列）上去记为例2计算4阶行列式解：例3计算n阶行列式解:将第2,3,…,n都加到第一列得例4计算n阶行列式例5解：例6令证明证明:例7解方程例8计算4阶范德蒙德(Vandermonde)行列式小结行列式的6个性质(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，

5、从而算得行列式的值．