2020届江苏省镇江市统一高考数学第一轮复习学案（解析答案版）：学案13 函数应用题

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1、镇江市区普通高中数学教学案（教师版）课题函数应用题上课教师上课班级主备人昂育锋审核人上课时间教学目标结合具体实际情境，让学生学会审题，学会建立函数数学模型并求解，形成应用题解题策略.教学重点与强化方法审题，自变量的选择，数学模型的建立，计算，格式书写等.教学难点与突破方法应用题解题策略的形成.前置学案一、知识梳理1、近几年江苏高考应用题统计2010年测量问题（几何背景），2011年包装盒面积体积问题（几何背景），2012年炮弹射程问题（物理背景），2013年测量行程问题（解三角形背景），2014年古桥保护问题（解析几何背景），2015年修建公路问题（解析几何，导数应用背景），2016年仓库

2、容积问题（几何背景），2017年玻璃棒浸入水中长度问题（几何背景）2.如何审题?（1）同学们要身临其境，读题要“慢”，要“品”；（2）抓自变量，等量关系是建立数学模型的关键.3.如何寻找等量关系建立函数关系？（1）在问题的题设中寻找；（2）在数学的重要公式（距离、面积、体积、正余弦定理等）中寻找；（3）在图形的位置关系，边角关系中寻找.4.如何找自变量？（1）从等量关系中找自变量；（2）从变化的背景中找自变量；（3）从问题的结论“求什么”中找自变量.一、基础训练1、在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最

3、大值是．2、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是________。[解析]考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为，则：（方法一）利用导数求函数最小值。，，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是。（方法二）利用函数的方法求最小值。令，则：故当时，S的最小值是。教学过程项目内容个性化一、问题提出（情景引入、复习回顾）见前置学案二、数学建构（知识梳理）三、基础训练四、例题选讲1如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB=ykm，并在公路同侧建造边

4、长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60o．（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？（一）选题目的利用平面图形中的边角关系寻求函数关系，同时考查自变量范围的合理探求，及利用基本不等式求目标函数的最值.（二）分析诱导变量放在哪些具体小图形中建立等量关系？利用三角形的哪些特性寻求的范围，注意到了吗？（三）解题步骤解：（1）∵AB=y，AB=AC+1，∴AC=y-1．在直角

5、三角形BCF中，∵CF=x，ÐABC=60°，∴ÐCBF=30°，BC=2x．由于2x+y-1>y，得．在△ABC中，∵，∴．则．由y＞0，及，得x＞1．即y关于x的函数解析式为（x＞1）．（2）．令x-1=t，则，在，即，时，总造价M最低．答：时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．（四）变式训练某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=600（1）若将支架的总长度表示为的函数，并写出函数的定义域.（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）_D_C_B_A（2）如何设计的长，可使支架总长度最短．

6、解：（1）由则，设，则支架的总长度为，在中，由余弦定理化简得即①记由，则（2）由题中条件得，即设则原式=由基本不等式有且仅当，即时成立，又由满足，当时，金属支架总长度最短．（五）小结提炼（1）利用三角形中的正余弦定理建立边角的等量关系；（2）注意利用三角形存在的判断条件：任意两边之和大于第三边，及变量自身的范围来确定自变量的范围；（3）目标函数求最值要掌握利用换元简化求最值，基本不等式、导数等手段来处理.例题选讲2服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量m（即该厂的年产量）万件与年促销费用x（）万元满足.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入1

7、6万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该服装厂2017年的促销费用投入多少万元时，利润最大？（一）选题目的根据实际情境建立函数关系，求最值时要涉及参数的范围进行讨论.（二）分析诱导求最值时要关注常数的范围与函数极值点的关系进行分类讨论.（三）解题步骤解：（1）售价为：（